Rampa v skejtparku, kúsok sendviča, výstražná značka pri ceste. Všade je trojuholník. Jeho uhly majú pevné pravidlo a jeho strany tiež. Dnes zistíš, ako dopočítaš chýbajúci uhol a prečo sa z hocijakých troch palíc trojuholník postaviť nedá.
Súčet uhlov je 180°
Trojuholník ABC má tri vnútorné uhly: α pri vrchole A, β pri B a γ pri C. Z minulej lekcie vieš, že spolu majú vždy 180°.
Slovom: alfa plus beta plus gama je sto osemdesiat stupňov.
Dva uhly poznáš, tretí dopočítaš: 180° − 40° − 65° = 75°.
Príklad: α = 45°, β = 75°. Tretí uhol: γ = 180° − 45° − 75° = 60°. Skúška: 45° + 75° + 60° = 180°.
Trojuholník má uhly 90° a 35°. Koľko má tretí uhol?
Ukáž riešenie
180° − 90° − 35° = 55°.
Ostrouhlý, pravouhlý, tupouhlý
Podľa uhlov sú trojuholníky troch druhov:
- ostrouhlý: všetky tri uhly sú ostré (menšie ako 90°), napríklad výstražná dopravná značka,
- pravouhlý: jeden uhol je pravý (90°), napríklad polovica obdĺžnikového sendviča rozrezaného cez roh,
- tupouhlý: jeden uhol je tupý (väčší ako 90°), napríklad nízka strecha nad dverami.
Pravý alebo tupý uhol má trojuholník najviac jeden. Dva pravé majú spolu 90° + 90° = 180° a na tretí uhol nič nezostane.
Najväčší uhol rozhodne: všetky ostré, jeden pravý, alebo jeden tupý.
Rozcvička pre oko: odhadni, koľko stupňov má uhol. Ostrý, pravý, či tupý?
Vonkajší uhol
Predĺž stranu AB za bod B. Medzi predĺžením a stranou BC je vonkajší uhol pri B. Píšeme β′ (beta s čiarkou).
Vnútorný a vonkajší uhol pri jednom vrchole sú susedné, spolu majú 180°:
A skratka: vonkajší uhol sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri ostatných dvoch vrcholoch:
Vonkajší uhol pri B má 115°. To je presne súčet uhlov pri A a pri C.
Prečo to platí? Uhly α a γ majú spolu 180° − β. Presne toľko má aj β′. Na obrázku: 180° − 65° = 115° a 55° + 60° = 115°.
Prechádzka okolo parku: keď obchádzaš trojuholníkový park, na každom rohu sa otočíš o vonkajší uhol. Za celé kolo sa otočíš o 360°. Pri parku z obrázka: 125° + 115° + 120° = 360°.
Pozor: vonkajší uhol pri B nie je α + β. Sčítaš uhly pri ostatných vrcholoch, teda α + γ.
Z akých strán vznikne trojuholník
Trojuholníková nerovnosť: súčet dĺžok dvoch strán je vždy väčší ako tretia strana.
Stačí skúsiť jedno: dve kratšie strany spolu musia byť dlhšie ako najdlhšia. Okľuka je vždy dlhšia ako rovná cesta.
- 5, 6, 9 cm: 5 + 6 = 11 > 9. Dá sa.
- 3, 5, 9 cm: 3 + 5 = 8 < 9. Nedá sa.
- 4, 5, 9 cm: 4 + 5 = 9. Nedá sa, strany by ležali na priamke.
Okľuka cez cukráreň (5 cm + 6 cm = 11 cm) je dlhšia ako rovná cesta (9 cm).
Stavebnica má paličky 6 cm, 6 cm a 13 cm. Postavíš z nich trojuholník? A z paličiek 2 cm, 4 cm a 5 cm?
Ukáž riešenie
6 + 6 = 12, to je menej ako 13: nepostavíš. Pri 2, 4 a 5 cm: 2 + 4 = 6, to je viac ako 5: postavíš.
Dá sa z týchto troch strán zostrojiť trojuholník? Roztrieď.
Balóniky letia hore. Ťukni na ten so správnou odpoveďou.
Zapamätaj si
- Súčet vnútorných uhlov: .
- Ostrouhlý má všetky uhly ostré, pravouhlý jeden pravý, tupouhlý jeden tupý.
- Vonkajší uhol: .
- Dve kratšie strany musia byť spolu dlhšie ako najdlhšia, inak trojuholník nevznikne.