Sieť a povrch kvádra a kocky

Pizzéria si objedná 1 000 krabíc. Výrobca kartónu sa nepýta, koľko sa do krabice zmestí, ale koľko kartónu na ňu treba. To je povrch — súčet obsahov všetkých stien. Najľahšie ho uvidíš, keď krabicu rozstriháš a rozložíš na stôl.

Sieť kvádra

Keď kváder rozstriháš po niektorých hranách (stačí po 7 z 12) a rozložíš do roviny, dostaneš jeho sieť: 6 obdĺžnikov, ktoré držia pokope. Protiľahlé steny sú zhodné, takže v sieti je každý obdĺžnik dvakrát.

Sieť krabičky 5 cm × 3 cm × 2 cm. Čiarkované čiary sú prehyby. Po zložení sa dve bočné steny 3 × 2 priložia k hornej aj dolnej stene — každá hrana sa stretne s rovnako dlhou hranou.

Siete kocky

Sieť kocky tvorí 6 zhodných štvorcov. Nie každá šestica štvorcov sa však dá zložiť do kocky! Kocka má 11 rôznych sietí.

Dve rýchle kontroly, kedy sieť nefunguje:

štyri štvorce tvoria väčší štvorec 2 × 2 (v rohu kocky sa stretávajú len 3 steny, nie 4),
dva štvorce by sa po zložení prekryli a na inom mieste by stena chýbala.

Šesť útvarov, každý zo 6 štvorcov. Ktoré sa dajú zložiť do kocky? Vyskúšaj v hre — alebo si ich vystrihni z papiera.

Povrch kvádra a kocky

Kváder má 3 dvojice zhodných stien: $a \cdot b$ (dno a veko), $b \cdot c$ (bočné), $a \cdot c$ (predná a zadná).

S_{\text{kváder}} = 2 \cdot (ab + bc + ac)

S_{\text{kocka}} = 6 \cdot a^2

Povrch je obsah, preto má jednotky cm², dm², m².

Krabička zo siete 5 cm × 3 cm × 2 cm:

S = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2) = 2 \cdot (15 + 6 + 10) = 2 \cdot 31 = \mathbf{62\,cm^2}

Krabica od pizze 33 cm × 33 cm × 4 cm:

S = 2 \cdot (33 \cdot 33 + 33 \cdot 4 + 33 \cdot 4) = 2 \cdot (1\,089 + 132 + 132) = 2 \cdot 1\,353 = \mathbf{2\,706\,cm^2}

Krabica bez veka má len 5 stien. Akvárium 60 cm × 30 cm × 30 cm je hore otvorené:

dno $60 \cdot 30 = 1\,800$ , predná a zadná $2 \cdot 60 \cdot 30 = 3\,600$ , bočné $2 \cdot 30 \cdot 30 = 1\,800$

$S = 1\,800 + 3\,600 + 1\,800 =$ 7 200 cm² skla — nie $2 \cdot (1\,800 + 900 + 1\,800) = 9\,000\,\mathrm{cm^2}$ .

Kockový hlavolam má hranu asi 5,7 cm. Aký je jeho povrch? A koľko m² má povrch bloku z videohry s hranou 1 m?

Ukáž riešenie

Hlavolam: $S = 6 \cdot 5{,}7^2 = 6 \cdot 32{,}49 =$ 194,94 cm² (asi 195 cm²).

Blok z videohry: $S = 6 \cdot 1^2 =$ 6 m².

Každá sieť patrí inému telesu a každé teleso má iný povrch. Pozor na slová „každá dvojica iná“ a „nie štvorce“:

Povrch je súčet obsahov obdĺžnikov — rozcvič sa (trenažér dáva obsah aj obvod, pri obsahu pozor na cm²):

Zapamätaj si

Sieť kvádra tvorí 6 obdĺžnikov (3 dvojice zhodných), sieť kocky 6 zhodných štvorcov; kocka má 11 rôznych sietí.
Štvorec 2 × 2 v sieti alebo dve steny, ktoré by sa prekryli = nie je to sieť kocky.
Povrch kvádra: $S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$ , kocky: $S = 6 \cdot a^2$ .
Povrch je obsah — jednotky cm², dm², m².
Krabica bez veka má len 5 stien — jednu stenu neráta.