Objem kvádra a kocky

Povrch hovorí, koľko kartónu treba na krabicu. Teraz ťa bude zaujímať, koľko sa do nej zmestí — vody do akvária, sutiny do kontajnera, blokov vody do bazéna vo videohre. To je objem.

Objem = počet kociek

Objem meriame jednotkovými kockami. Kocka s hranou 1 cm má objem 1 centimeter kubický, $1\,\mathrm{cm^3}$ . Objem telesa je počet takých kociek, ktoré by ho presne vyplnili.

Kváder 4 cm × 3 cm × 2 cm: na dno sa zmestí 4 · 3 = 12 kociek, vrstvy sú 2, spolu 24 kociek. Objem je 24 cm³.

Podobne: kocka s hranou 1 dm má objem $1\,\mathrm{dm^3}$ , kocka s hranou 1 m má $1\,\mathrm{m^3}$ — presne jeden blok z videohry s hranou 1 m.

Vzorec pre kváder a kocku

Na dno sa zmestí $a \cdot b$ kociek, vrstiev je $c$ :

V_{\text{kváder}} = a \cdot b \cdot c

V_{\text{kocka}} = a \cdot a \cdot a = a^3

Objem má jednotky cm³, dm³, m³ (kubické — tri rozmery).

Balík z e-shopu 40 cm × 30 cm × 20 cm: $V = 40 \cdot 30 \cdot 20 =$ 24 000 cm³

Akvárium 60 cm × 30 cm × 30 cm: $V = 60 \cdot 30 \cdot 30 =$ 54 000 cm³ (to je 54 litrov — prečo, uvidíš v ďalšej lekcii)

Kontajner na stavebný odpad 4 m × 2 m × 1,5 m: $V = 4 \cdot 2 \cdot 1{,}5 =$ 12 m³

Kockový hlavolam 3 × 3 × 3: vyplnilo by ju $3^3 = 27$ malých kociek.

Všetky rozmery v rovnakých jednotkách! Šatník 120 cm × 0,6 m × 2 m: najprv 120 cm = 1,2 m, potom

$V = 1{,}2 \cdot 0{,}6 \cdot 2 =$ 1,44 m³.

A ešte jedna pasca: kocka s dvakrát dlhšou hranou nemá dvakrát väčší objem, ale $2 \cdot 2 \cdot 2 =$ 8-krát väčší.

Vo videohre kopeš bazén 8 blokov dlhý, 5 blokov široký a 2 bloky hlboký. Koľko blokov vody doň naleješ? Koľko je to m³?

Ukáž riešenie

$V = 8 \cdot 5 \cdot 2 =$ 80 blokov. Jeden blok má hranu 1 m, teda 1 m³, takže 80 m³ vody.

Spätne: chýbajúci rozmer

Keď poznáš objem a dno, výšku dopočítaš delením: $c = V : (a \cdot b)$ .

Krabica má dno 20 cm × 15 cm a objem 6 000 cm³. Aká je vysoká?

Dno: $20 \cdot 15 = 300\,\mathrm{cm^2}$ . Výška: $c = 6\,000 : 300 =$ 20 cm.

Skúška: $20 \cdot 15 \cdot 20 = 6\,000\,\mathrm{cm^3}$ ✓

Zapamätaj si

Objem je počet jednotkových kociek, ktoré teleso vyplnia; jednotky cm³, dm³, m³.
Kváder: $V = a \cdot b \cdot c$ , kocka: $V = a^3$ .
Pred násobením premeň všetky rozmery na rovnakú jednotku.
Dvojnásobná hrana kocky = 8-násobný objem.
Chýbajúci rozmer: $c = V : (a \cdot b)$ .