Pravouhlá sústava súradníc

V hre máš mapu rozdelenú na štvorce a kamarátovi napíšeš „poklad je na B4“. Pri lodičkách hlásiš „C7 — zásah!“. Matematika robí to isté, len namiesto písmen používa čísla — aj záporné — a vie tak presne určiť polohu ľubovoľného bodu v rovine.

Osi a začiatok

Pravouhlú sústavu súradníc tvoria dve kolmé číselné osi:

os x — vodorovná, kladné čísla vpravo,
os y — zvislá, kladné čísla hore,
ich priesečník je začiatok $O[0; 0]$ .

Poloha bodu sa zapíše dvoma číslami v hranatej zátvorke: $A[3; 2]$ . Prvé číslo je súradnica $x$ (o koľko doprava alebo doľava), druhé je súradnica $y$ (o koľko hore alebo dole).

Bod $A[3; 2]$ : zo začiatku 3 dieliky doprava a 2 hore. Bod $C[-2; -3]$ : 2 doľava a 3 dole. Bod $E[0; 4]$ leží priamo na osi $y$ .

Poradie si zapamätaj ako v budove: najprv ideš chodbou (vodorovne, $x$ ), potom výťahom (hore alebo dole, $y$ ).

$[2; 5]$ a $[5; 2]$ sú dva rôzne body. Prvé číslo je vždy $x$ . Prehodené súradnice sú najčastejšia chyba na písomke.

Kvadranty a body na osiach

Osi rozdelia rovinu na štyri kvadranty. Číslujú sa proti smeru hodinových ručičiek od pravého horného:

kvadrant	$x$	$y$	príklad
I.	$+$	$+$	$A[3; 2]$
II.	$-$	$+$	$B[-4; 1]$
III.	$-$	$-$	$C[-2; -3]$
IV.	$+$	$-$	$D[4; -2]$

Bod s nulovou súradnicou leží na osi a nepatrí do žiadneho kvadrantu: $E[0; 4]$ je na osi $y$ , $[-3; 0]$ je na osi $x$ .

Graf priamej úmernosti

Dáta navyše stoja 2 € za každý GB. Cena $y$ je priamo úmerná počtu GB $x$ : $y = 2x$ . Urob tabuľku a každú dvojicu zakresli ako bod $[x; y]$ :

$x$ (GB)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$ (€)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$

Body $[0; 0]$ , $[1; 2]$ , $[2; 4]$ , $[3; 6]$ a $[4; 8]$ ležia na jednej priamke, ktorá prechádza začiatkom.

Graf priamej úmernosti je vždy časť priamky, ktorá prechádza začiatkom $O[0; 0]$ — pri 0 GB platíš 0 €. Ďalší príklad: na kolobežke rýchlosťou 15 km/h prejdeš za $x$ hodín $y = 15x$ kilometrov, aj tu dostaneš priamku cez začiatok.

Otestuj sa: leží bod na grafe $y = 2x$ ? Stačí dosadiť $x$ a pozrieť sa, či vyjde dané $y$ .

Graf nepriamej úmernosti nie je priamka, ale krivka. Napríklad 12 € rozdelíš medzi $x$ kamarátov, každý dostane $y = 12 : x$ eur: body $[1; 12]$ , $[2; 6]$ , $[3; 4]$ , $[4; 3]$ , $[6; 2]$ — čím viac kamarátov, tým menej pre každého.

a) Bod je 3 dieliky vľavo a 5 dielikov hore od začiatku. Aké má súradnice a kde leží? b) Kde leží bod $[0; -4]$ ? c) Leží bod $[5; 10]$ na grafe $y = 2x$ ?

Ukáž riešenie

a) $[-3; 5]$ , II. kvadrant ( $x$ záporné, $y$ kladné). b) Na osi $y$ , 4 dieliky pod začiatkom — v žiadnom kvadrante. c) Áno, lebo $2 \cdot 5 = 10$ .

Zapamätaj si

Bod zapíšeš ako $A[x; y]$ — prvé číslo je vodorovne (os $x$ ), druhé zvislo (os $y$ ).
Začiatok je $O[0; 0]$ ; bod s nulovou súradnicou leží na osi, nie v kvadrante.
Kvadranty: I. $[+; +]$ , II. $[-; +]$ , III. $[-; -]$ , IV. $[+; -]$ .
Graf priamej úmernosti $y = kx$ je priamka, ktorá prechádza začiatkom.

Pravouhlá sústava súradníc

Osi a začiatok

Kvadranty a body na osiach

Graf priamej úmernosti

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí