Rovnica s neznámou v menovateli

Neznáma v menovateli sa objaví, keď počítaš „na osobu“, „na kus“ alebo „za hodinu“ a nepoznáš počet osôb, kusov či hodín. Za lístky na plaváreň si zaplatil 36 € a jeden lístok stál 4,50 €. Koľko lístkov si kúpil? Cena jedného lístka je celá suma vydelená počtom lístkov: $\frac{36}{x} = 4{,}5$ .

Podmienka: menovateľ nesmie byť nula

Nulou sa deliť nedá. Preto ešte pred riešením napíšeš podmienku: pre ktoré $x$ by bol niektorý menovateľ nulový — tie čísla koreňom byť nemôžu.

rovnica	menovateľ	podmienka
$\frac{36}{x} = 4{,}5$	$x$	$x \ne 0$
$\frac{6}{x - 1} = 2$	$x - 1$	$x \ne 1$
$\frac{x + 3}{x - 2} = 2$	$x - 2$	$x \ne 2$

Podmienku nájdeš tak, že sa opýtaš, kedy by menovateľ bol nula: $x - 1 = 0$ pre $x = 1$ , preto $x \ne 1$ .

Vynásob menovateľom

Keď podmienka platí, menovateľ nie je nula a smieš ním vynásobiť obe strany. Zlomok zmizne.

Plaváreň: $\frac{36}{x} = 4{,}5$ , podmienka $x \ne 0$ .

\begin{aligned} \frac{36}{x} &= 4{,}5 \quad /\cdot x \\ 36 &= 4{,}5x \quad /:4{,}5 \\ x &= 8 \end{aligned}

Kúpil si 8 lístkov. Skúška: $36 : 8 = 4{,}5$ ✓ a $8 \ne 0$ ✓

Vyrieš $\frac{x + 3}{x - 2} = 2$ , podmienka $x \ne 2$ . Násob celým menovateľom $(x - 2)$ :

\begin{aligned} x + 3 &= 2(x - 2) \\ x + 3 &= 2x - 4 \quad /-x \;/+4 \\ x &= 7 \end{aligned}

Skúška: Ľ $= \frac{10}{5} = 2$ , P $= 2$ ✓ Číslo 7 spĺňa podmienku, koreň je $x = 7$ .

Menovateľ $x - 2$ je jeden celok — pri násobení ho daj do zátvorky: $2(x - 2) = 2x - 4$ . Kto napíše $2x - 2$ , dostane chybný koreň 5.

Zlomok na oboch stranách

Ak je zlomok vľavo aj vpravo, vynásob obe strany oboma menovateľmi naraz. Vyjde skrížené násobenie: ľavý čitateľ krát pravý menovateľ sa rovná pravému čitateľovi krát ľavý menovateľ.

Vyrieš $\frac{5}{x} = \frac{3}{x - 2}$ , podmienky $x \ne 0$ a $x \ne 2$ . Násob $x(x - 2)$ :

\begin{aligned} 5(x - 2) &= 3x \\ 5x - 10 &= 3x \quad /-3x \;/+10 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned}

Skúška: Ľ $= \frac{5}{5} = 1$ , P $= \frac{3}{3} = 1$ ✓ Koreň je $x = 5$ .

Pasca: koreň, ktorý nie je koreň

Niekedy vyjde číslo, ktoré podmienku porušuje. Také číslo koreňom nie je.

Vyrieš $\frac{x}{x - 3} = \frac{3}{x - 3}$ , podmienka $x \ne 3$ . Násob $(x - 3)$ : $x = 3$ .

Lenže $x = 3$ podmienka zakazuje — menovateľ by bol $3 - 3 = 0$ . Rovnica nemá riešenie.

Fyzika: priemerná rýchlosť je $v = \frac{s}{t}$ . Autobus prešiel 120 km priemernou rýchlosťou 80 km/h: $\frac{120}{t} = 80$ , odtiaľ $t = 120 : 80 = 1{,}5$ h, teda 1 h 30 min.

S kamarátmi ste si rovným dielom rozdelili 54 € za brigádu. Každý dostal 9 €. Koľko vás bolo?

Ukáž riešenie

$\frac{54}{x} = 9$ , podmienka $x \ne 0$ . $54 = 9x$ , $x = 6$ — bolo vás šesť. Skúška: $54 : 6 = 9$ ✓

Zapamätaj si

Pred riešením napíš podmienku: menovateľ $\ne 0$ (napr. pri $\frac{6}{x - 1}$ je $x \ne 1$ ).
Rovnicu vynásob menovateľom (celým, ako zátvorkou) — zlomok zmizne.
Pri zlomkoch na oboch stranách násob oboma menovateľmi: $\frac{5}{x} = \frac{3}{x - 2} \Rightarrow 5(x - 2) = 3x$ .
Číslo, ktoré porušuje podmienku, koreňom nie je — rovnica potom môže byť bez riešenia.
Skúšku rob vždy: dosaď do pôvodnej rovnice so zlomkami.

Rovnica s neznámou v menovateli

Podmienka: menovateľ nesmie byť nula

Vynásob menovateľom

Zlomok na oboch stranách

Pasca: koreň, ktorý nie je koreň

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí