Lineárne nerovnice

Nerovnica ti odpovie, keď sa pýtaš „najviac koľko“ alebo „aspoň koľko“ — pri rozpočte, pri dátach aj v úlohách Testovania 9. Mesačne chceš za mobil minúť najviac 20 €. Paušál stojí 8 € a každý dokúpený GB dát 1,50 €. Koľko GB si môžeš dokúpiť? Rovnica tu nestačí — hľadáš všetky možnosti, pri ktorých sa zmestíš do limitu: $8 + 1{,}5x \le 20$ .

Nerovnica a jej riešenie

Nerovnica má namiesto $=$ jeden zo znakov nerovnosti:

znak	čítaš	v slovnej úlohe	hraničné číslo
$x < 4$	menšie ako 4	menej ako	nepatrí
$x > 4$	väčšie ako 4	viac ako	nepatrí
$x \le 4$	menšie alebo rovné 4	najviac	patrí
$x \ge 4$	väčšie alebo rovné 4	aspoň	patrí

Riešením nerovnice nebýva jedno číslo, ale celý úsek číselnej osi. Na osi sa hraničné číslo kreslí prázdnym krúžkom, ak do riešenia nepatrí, a plným, ak patrí.

Úpravy ako pri rovnici

Pripočítať a odčítať to isté číslo na oboch stranách smieš bez obáv. Násobiť a deliť kladným číslom tiež — znak ostáva.

Vyrieš $2x + 3 > 11$ .

\begin{aligned} 2x + 3 &> 11 \quad /-3 \\ 2x &> 8 \quad /:2 \\ x &> 4 \end{aligned}

Riešením sú všetky čísla väčšie ako 4. Skúška číslom z riešenia: $x = 5$ dá $13 > 11$ ✓. Hranica $x = 4$ dá $11 > 11$ — neplatí, preto 4 nepatrí do riešenia.

Záporné číslo otočí znak

Pri násobení alebo delení záporným číslom sa znak nerovnosti otočí: $<$ na $>$ , $\le$ na $\ge$ a naopak.

Prečo? Platí $2 < 5$ . Vynásob obe strany $-1$ : dostaneš $-2$ a $-5$ . Na osi je $-2$ vpravo od $-5$ , teda $-2 > -5$ . Poradie sa prevrátilo.

Vyrieš $-3x \le 12$ . Delíš $-3$ , znak sa otočí:

x \ge -4

Skúška: $x = 0$ dá $0 \le 12$ ✓. Číslo mimo riešenia, $x = -5$ , dá $15 \le 12$ — neplatí ✓

Znak otáča len násobenie a delenie záporným číslom. Keď je záporná len pravá strana, napríklad $4x \le -8$ , delíš kladnou štvorkou a znak ostáva: $x \le -2$ .

Keď počítaš kusy

V slovnej úlohe často hľadáš počet (lístkov, GB, minút) — a ten musí byť celé číslo. Z riešenia nerovnice vyberieš vhodné celé čísla.

Dáta z úvodu: $8 + 1{,}5x \le 20$

\begin{aligned} 1{,}5x &\le 12 \quad /:1{,}5 \\ x &\le 8 \end{aligned}

Dokúpiť môžeš najviac 8 GB. Skúška: $8 + 1{,}5 \cdot 8 = 20$ € — presne na limite ✓

Koncert: lístok stojí 25 € a máš 110 €. Koľko lístkov kúpiš najviac?

$25x \le 110$ , teda $x \le 4{,}4$ . Polovičný lístok neexistuje, preto najviac 4 lístky. Päť by stálo 125 €, to je viac ako 110 €.

Pri „najviac“ zaokrúhľuješ nadol, aj keď vyjde 4,9. Pri „aspoň“ (napríklad koľko autobusov treba) zase nahor.

Do kina ide partia. Lístok stojí 7 € a jeden spoločný popcorn 4 €. Spolu máte 40 €. Najviac koľko lístkov kúpite, ak chcete aj popcorn?

Ukáž riešenie

$7x + 4 \le 40$ , $7x \le 36$ , $x \le 5{,}14\ldots$ — najviac 5 lístkov. Skúška: $5 \cdot 7 + 4 = 39$ € ✓, pri šiestich by to bolo $46$ €.

Zapamätaj si

Nerovnica má znak $<$ , $>$ , $\le$ alebo $\ge$ ; riešením je celý úsek čísel.
Pripočítať, odčítať a násobiť alebo deliť kladným číslom smieš — znak ostáva.
Pri násobení alebo delení záporným číslom sa znak otočí: z $-3x \le 12$ je $x \ge -4$ .
Na osi: prázdny krúžok pri $<$ , $>$ (číslo nepatrí), plný pri $\le$ , $\ge$ (číslo patrí).
Pri počte kusov vyber celé čísla: z $x \le 4{,}4$ je najviac 4.