Slovné úlohy: od textu k rovnici

Rovnice v slovných úlohách patria v Testovaní 9 medzi najťažšie — v roku 2025 jednu z úloh na lineárne rovnice a nerovnice vyriešilo správne len asi 43 % žiakov (forma A testu). Pritom počítanie je v nich jednoduché; ťažké je preložiť text do rovnice. Naučíš sa postup, ktorý funguje pri brigáde, zľave aj pri paušáloch.

Postup v piatich krokoch

Neznáma: napíš, čo je $x$ — aj s jednotkou („ $x$ … Tomášova odmena v €“).
Ostatné cez $x$ : každý ďalší údaj vyjadri pomocou $x$ („Ema … $x + 30$ “).
Rovnica: nájdi v texte vetu, ktorá hovorí „spolu je“, „rovná sa“, „stojí“.
Vyrieš rovnicu.
Skúška podľa textu a odpoveď celou vetou.

Skúšku rob podľa textu, nie dosadením do svojej rovnice. Keď je rovnica zle zostavená, jej skúška vyjde aj pre zlý výsledok.

Súčet a rozdiel: brigáda

Tomáš a Ema dostali za brigádu spolu 210 €. Ema dostala o 30 € viac ako Tomáš. Koľko dostal každý?

$x$ … Tomášova odmena v €
Ema … $x + 30$
Spolu: $x + (x + 30) = 210$
$2x + 30 = 210$ , $2x = 180$ , $x = 90$
Skúška: Tomáš 90 €, Ema 120 €, spolu $90 + 120 = 210$ € ✓, rozdiel $120 - 90 = 30$ € ✓

Tomáš dostal 90 € a Ema 120 €.

Percentá a obvod

Tenisky po zľave 20 % stoja 72 €. Aká bola pôvodná cena?

Po zľave 20 % platíš $100\,\% - 20\,\% = 80\,\%$ ceny, teda $0{,}8x$ .

$0{,}8x = 72 \;/:0{,}8$ , $x = 90$ . Skúška: 20 % z 90 € je 18 €, $90 - 18 = 72$ € ✓

Pôvodná cena bola 90 €.

Pôvodnú cenu nedostaneš tak, že k 72 € pripočítaš 20 %. Vyšlo by 86,40 €, ale po 20 % zľave z tejto ceny by tenisky stáli 69,12 €, nie 72 €. Zľava sa počíta z pôvodnej ceny.

Obvod = súčet všetkých štyroch strán: $x + (x + 3) + x + (x + 3) = 2(x + x + 3)$ .

Záhon má tvar obdĺžnika s obvodom 26 m, dĺžka je o 3 m väčšia ako šírka.

$2(x + x + 3) = 26$ , $4x + 6 = 26$ , $4x = 20$ , $x = 5$ . Skúška: $2 \cdot (5 + 8) = 26$ m ✓

Šírka je 5 m, dĺžka 8 m.

Údaje v tabuľke: ktorý paušál

V Testovaní 9 sú údaje často v tabuľke. Rovnicu zostavíš z toho, že sa dve veci rovnajú.

paušál	mesačne	za minútu volania
A	12 €	0 € (neobmedzene)
B	4 €	0,05 €

Pri koľkých minútach zaplatíš za oba paušály rovnako?

$x$ … počet minút. B stojí $4 + 0{,}05x$ , A stojí 12 €.

$4 + 0{,}05x = 12$ , $0{,}05x = 8$ , $x = 160$ . Skúška: $4 + 0{,}05 \cdot 160 = 4 + 8 = 12$ € ✓

Pri 160 minútach sú rovnaké. Kto volá menej, ušetrí s B; kto viac, s A.

Ondro vyrazil na kolobežke rýchlosťou 12 km/h. O 15 minút neskôr vyrazil za ním tou istou cestou Peter na bicykli rýchlosťou 18 km/h. Za koľko minút od svojho štartu Peter Ondra dobehne?

Ukáž riešenie

$t$ … Petrov čas v hodinách; Ondro ide o 15 min = 0,25 h dlhšie. Pri dobehnutí prešli rovnakú dráhu ( $s = v \cdot t$ ):

$12(t + 0{,}25) = 18t$ , $12t + 3 = 18t$ , $3 = 6t$ , $t = 0{,}5$ h.

Peter dobehne Ondra za 30 minút. Skúška: Peter $18 \cdot 0{,}5 = 9$ km, Ondro $12 \cdot 0{,}75 = 9$ km ✓

Zapamätaj si

Najprv napíš, čo je $x$ (aj s jednotkou), a ostatné údaje vyjadri cez $x$ .
„O … viac“ = $+$ , „o … menej“ = $-$ , „krát viac“ = násobok, „spolu“ = súčet.
Cena po zľave $p$ % je $(100 - p)$ % pôvodnej ceny: po zľave 20 % platíš $0{,}8x$ .
Pri tabuľke hľadaj, čo sa má rovnať: $4 + 0{,}05x = 12$ .
Skúšku rob podľa textu a odpovedz celou vetou s jednotkou.