Merná tepelná kapacita a kalorimetrická rovnica

Ráno sa ponáhľaš, zapneš rýchlovarnú kanvicu s litrom vody — stihneš si medzitým natrieť chlieb? A keď do vane napustíš horúcu vodu z bojlera a pridáš studenú, akú teplotu bude mať kúpeľ? Obe otázky vyrieši jeden vzorec a jedna rovnica.

Merná tepelná kapacita

Na ohriatie rôznych látok treba rôzne veľa tepla. Vyjadruje to merná tepelná kapacita $c$ (na ZŠ si ju poznal ako hmotnostnú tepelnú kapacitu): teplo potrebné na ohriatie 1 kg látky o 1 K (= o 1 °C).

c = \frac{Q}{m\,\Delta t},

[c] = \mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}

látka	$c$ v $\mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$
voda	4 180
ľad	≈ 2 100
hliník	≈ 900
železo	≈ 450
meď	≈ 380

Na SŠ počítame s $c_{\text{vody}} = 4\,180\,\mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$ (na ZŠ zaokrúhlene 4 200). Voda má veľkú $c$ — preto sa ňou kúri v radiátoroch a preto sa more v lete ohrieva pomaly.

Teplo na ohriatie: Q = cmΔt

Teplo, ktoré teleso prijme pri ohriatí (alebo odovzdá pri ochladení), je

Q = c\,m\,\Delta t

$m$ v kg, $\Delta t = \Delta T$ je zmena teploty (väčšia mínus menšia, v °C aj v K vyjde rovnako). Liter vody má hmotnosť približne 1 kg.

Kanvica: rýchlovarná kanvica s príkonom 2 000 W ohreje 1 l vody z 20 °C na 100 °C. Ako dlho to trvá, ak zanedbáme straty?

$Q = c\,m\,\Delta t = 4\,180 \cdot 1 \cdot (100 - 20)\,\mathrm{J} = 334\,400\,\mathrm{J}$
Kanvica dodá za 1 s energiu 2 000 J, teda $\tau = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{334\,400\,\mathrm{J}}{2\,000\,\mathrm{W}}$
$\tau \approx 167\,\mathrm{s} \approx 2{,}8\,\mathrm{min}$ — v skutočnosti trochu dlhšie, časť energie ohrieva kanvicu a vzduch.

Väčšie čísla: elektrický bojler ohrieva 80 l vody z 15 °C na 60 °C. $Q = 4\,180 \cdot 80 \cdot 45\,\mathrm{J} = 15\,048\,000\,\mathrm{J} \approx 15\,\mathrm{MJ}$ , čo je $15\,048\,000 : 3\,600\,000 \approx 4{,}18\,\mathrm{kWh}$ — energia, ktorú platíš v účte za elektrinu.

Kalorimetrická rovnica

Keď zmiešaš teplú a studenú vodu (alebo ponoríš horúci kov do vody), teplejšie teleso odovzdáva teplo chladnejšiemu, kým nemajú spoločnú teplotu $t$ . Ak sa teplo nestráca do okolia, platí kalorimetrická rovnica: teplo odovzdané = teplo prijaté.

c_1 m_1 (t_1 - t) = c_2 m_2 (t - t_2)

Index 1 je teplejšie teleso ( $t_1 > t$ ), index 2 chladnejšie ( $t_2 < t$ ). Obe strany sú kladné.

Vaňa: napustíš 50 l vody s teplotou 60 °C a 30 l vody s teplotou 15 °C. Aká bude teplota kúpeľa (bez strát)?

Obe sú voda, $c$ sa vykráti: $50\,(60 - t) = 30\,(t - 15)$
$3\,000 - 50t = 30t - 450 \;\Rightarrow\; 80t = 3\,450$
$t \approx 43{,}1\,°\mathrm{C}$ — trochu horúco, pridaj ešte studenej.

Typické chyby: výslednú teplotu počítať ako obyčajný priemer $(60 + 15) : 2$ — to platí len pri rovnakých hmotnostiach a rovnakej látke. Dosadiť do $Q = c\,m\,\Delta t$ gramy namiesto kilogramov (teplo vyjde 1 000-krát väčšie). A pri kove a vode zabudnúť, že majú rôzne $c$ — kov zmení teplotu oveľa viac ako voda.

Kalorimeter

Kalorimeter je tepelne izolovaná nádoba (v princípe termoska) s teplomerom a miešačkou — straty tepla do okolia sú v ňom malé, takže kalorimetrická rovnica platí dosť presne. Používa sa napríklad na meranie mernej tepelnej kapacity: horúce kovové teleso so známou teplotou ponoríš do vody v kalorimetri, odmeriaš výslednú teplotu a z rovnice vypočítaš $c$ kovu. Presnejšie výpočty započítajú aj teplo, ktoré prijme samotná nádoba.

🧪 Pokus: predpovedz teplotu zmesi

Pomôcky: termohrnček alebo termoska, odmerka, kuchynský teplomer, studená a teplá voda z kohútika (nie vriaca).

Odmeraj 200 ml studenej vody a zmeraj jej teplotu (napr. 15 °C). Odmeraj 100 ml teplej vody a zmeraj jej teplotu (napr. 50 °C). Najprv vypočítaj, akú teplotu bude mať zmes, potom vodu vylej do termohrnčeka, premiešaj a zmeraj.

Výpočet a čo uvidíš

Pre 15 °C a 50 °C: $0{,}2\,(t - 15) = 0{,}1\,(50 - t) \Rightarrow 0{,}3\,t = 8 \Rightarrow t \approx 26{,}7\,°\mathrm{C}$ . Nameraná teplota vyjde o niečo nižšia — časť tepla ohrieva hrnček a uniká do vzduchu. Čím lepšie izolovaná nádoba, tým bližšie k výpočtu. Presne toto robí kalorimeter.

Teraz ty — chyť správny výsledok ( $c_{\text{vody}} = 4\,180\,\mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$ , bez strát):

Zapamätaj si

Merná tepelná kapacita $c$ = teplo na ohriatie 1 kg látky o 1 K; voda $c = 4\,180\,\mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$ .
Teplo na ohriatie alebo ochladenie: $Q = c\,m\,\Delta t$ (hmotnosť v kg, $\Delta t = \Delta T$ ).
Kalorimetrická rovnica (bez strát): $c_1 m_1 (t_1 - t) = c_2 m_2 (t - t_2)$ — teplo odovzdané = teplo prijaté.
Čas ohrevu spotrebičom: $\tau = \dfrac{Q}{P}$ (bez strát).

Merná tepelná kapacita a kalorimetrická rovnica