Parametrické vyjadrenie priamky

Robotická kosačka štartuje v rohu záhrady a ide stále rovno rovnakou rýchlosťou. Jej softvér nepozná „čiaru na trávniku“ — pozná len štartovací bod, smer a čas. Presne takto zapíšeš priamku v analytickej geometrii: bodom, vektorom a parametrom.

Bod a smerový vektor

Priamku jednoznačne určuje jeden jej bod $A$ a nenulový vektor $\vec u$ , ktorý ukazuje jej smer — smerový vektor. Každý bod $X$ priamky dostaneš tak, že k bodu $A$ pripočítaš nejaký násobok vektora $\vec u$ :

p:\ X = A + t \cdot \vec u, \quad t \in \mathbb{R}

Číslo $t$ je parameter. Pre $t = 0$ si v bode $A$ , pre $t = 1$ o jeden vektor ďalej, pre $t = -1$ o jeden vektor späť. Keď $t$ prebehne všetky reálne čísla, prejdeš celú priamku.

Kosačka v bode $A[1;\ 2]$ sa každú sekundu posunie o $\vec u = (2;\ 1)$ (súradnice v decimetroch, to je asi $0{,}2\,\mathrm{m/s}$ ako pri skutočnej kosačke). Po 3 sekundách je v bode $A + 3\vec u = [1 + 6;\ 2 + 3] = [7;\ 5]$ , po pol sekunde v bode $[2;\ 2{,}5]$ .

Parametrické rovnice

Vektorový zápis rozpíšeš po súradniciach. Pre $A[a_1;\ a_2]$ a $\vec u = (u_1;\ u_2)$ :

p:\ \begin{aligned} x &= a_1 + t\,u_1 \\ y &= a_2 + t\,u_2 \end{aligned} \qquad t \in \mathbb{R}

Ak poznáš dva body $A$ , $B$ , smerový vektor je $\vec u = B - A$ (vektor $\overrightarrow{AB}$ z kapitoly o vektoroch).

Zapíš parametrické vyjadrenie priamky $AB$ , $A[1;\ 2]$ , $B[4;\ -1]$ , a zisti, či na nej ležia body $M[7;\ -4]$ a $N[5;\ 0]$ .

Smerový vektor: $\vec u = B - A = (4 - 1;\ -1 - 2) = (3;\ -3)$
Priamka: $x = 1 + 3t$ , $y = 2 - 3t$ , $t \in \mathbb{R}$
Bod $M$ : z rovnice pre $x$ : $7 = 1 + 3t$ , teda $t = 2$ . Dosadím do $y$ : $2 - 3 \cdot 2 = -4$ ✓ — $M$ leží na priamke ( $t = 2$ ).
Bod $N$ : z $x$ : $5 = 1 + 3t$ , teda $t = \tfrac43$ . Dosadím do $y$ : $2 - 3 \cdot \tfrac43 = -2 \ne 0$ — $N$ na priamke neleží.

Jedno $t$ pre obe súradnice. Bod leží na priamke, len ak to isté $t$ vyhovuje rovnici pre $x$ aj pre $y$ . Častá chyba: vypočítať $t$ z jednej rovnice a druhú už nekontrolovať. A smerový vektor nesmie byť nulový — $(0;\ 0)$ žiadny smer neurčuje.

Nie je to jediný zápis

Tá istá priamka má nekonečne veľa parametrických vyjadrení. Môžeš začať v inom jej bode a smerový vektor môžeš vynásobiť ľubovoľným nenulovým číslom. Priamku $AB$ z príkladu zapíšeš aj ako $x = 4 + t$ , $y = -1 - t$ (bod $B$ , vektor $(1;\ -1)$ ). Bod $M[7;\ -4]$ tu dostaneš pre $t = 3$ , bod $A$ pre $t = -3$ — iné čísla $t$ , ale tá istá priamka.

Preto pri kontrole nehľadaj „rovnaký zápis“, ale over, či sa smerové vektory líšia len násobkom a či bod jednej priamky leží na druhej.

Polpriamka a úsečka

Ak $\vec u = B - A$ a obmedzíš parameter, dostaneš časť priamky:

Parameter	Útvar
$t \in \mathbb{R}$	priamka $AB$
$t \ge 0$	polpriamka $AB$ (začína v $A$ , ide cez $B$ )
$t \in \langle 0;\ 1 \rangle$	úsečka $AB$ ( $t = 0$ je $A$ , $t = 1$ je $B$ )

Pre $t = \tfrac12$ dostaneš stred úsečky. Pre $A[1;\ 2]$ , $B[4;\ -1]$ : $S = [1 + 1{,}5;\ 2 - 1{,}5] = [2{,}5;\ 0{,}5]$ .

Kde to stretneš. Počítačové hry a animácie posúvajú postavičku presne takto: poloha = štart + čas · rýchlosť. Navigácia v aute odhaduje, kde budeš o chvíľu, ak pôjdeš rovno. A robotický vysávač si takto plánuje rovné prejazdy izbou.

Priamka prechádza bodmi $A[-1;\ 3]$ a $B[2;\ 5]$ . a) Zapíš jej parametrické vyjadrenie. b) Ktorý bod dostaneš pre $t = 2$ ? c) Leží na nej $[8;\ 9]$ ? A $[0;\ 4]$ ?

Ukáž riešenie

a) $\vec u = (3;\ 2)$ , $x = -1 + 3t$ , $y = 3 + 2t$ , $t \in \mathbb{R}$ .

b) $[-1 + 6;\ 3 + 4] = [5;\ 7]$ .

c) $[8;\ 9]$ : z $x$ je $t = 3$ , $y = 3 + 6 = 9$ ✓ — leží. $[0;\ 4]$ : z $x$ je $t = \tfrac13$ , ale z $y$ je $t = \tfrac12$ — neleží.

Hra: chyť správnu odpoveď — body, parametre a smerové vektory.

Zapamätaj si

Priamku určuje bod $A$ a nenulový smerový vektor $\vec u$ : $X = A + t \cdot \vec u$ , $t \in \mathbb{R}$ .
Po súradniciach: $x = a_1 + t\,u_1$ , $y = a_2 + t\,u_2$ .
Z dvoch bodov: $\vec u = B - A$ .
Bod leží na priamke, ak jedno $t$ vyhovuje obom rovniciam.
$t \ge 0$ je polpriamka, $t \in \langle 0;\ 1 \rangle$ úsečka, $t = \tfrac12$ stred úsečky.

Parametrické vyjadrenie priamky

Bod a smerový vektor

Parametrické rovnice

Nie je to jediný zápis

Polpriamka a úsečka

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí