Vzájomná poloha a odchýlka priamok

Dve rovné cesty na mape: kde sa skrížia? Dve koľajnice: nikdy sa nestretnú. Dva laserové lúče v hre: pretnú sa pod uhlom, ktorý potrebuješ poznať. Analytická geometria to rozhodne výpočtom, bez kreslenia.

Tri možnosti

Dve priamky v rovine sú vždy v jednej z týchto polôh:

Poloha	Spoločné body	Smerové (normálové) vektory
rôznobežné	práve jeden — priesečník	nie sú násobkami
rovnobežné rôzne	žiadny	sú násobkami
totožné	všetky	sú násobkami a priamky majú spoločný bod

Postup pre $p:\ a_1x + b_1y + c_1 = 0$ a $q:\ a_2x + b_2y + c_2 = 0$ :

Sú normálové vektory $(a_1;\ b_1)$ a $(a_2;\ b_2)$ násobkami? Ak nie, priamky sú rôznobežné — vyrieš sústavu, dostaneš priesečník.
Ak áno, zisti, či je celá rovnica $q$ násobkom rovnice $p$ (aj $c$ ). Áno — totožné, nie — rovnobežné rôzne.

V smernicovom tvare: rovnaké $k$ znamená rovnobežné (pri rovnakom aj $q$ totožné), rôzne $k$ znamená rôznobežné.

Urči vzájomnú polohu priamky $p:\ 2x - y + 1 = 0$ s priamkami $q:\ x + y - 4 = 0$ , $r:\ 4x - 2y - 6 = 0$ a $s:\ -6x + 3y - 3 = 0$ .

$p$ a $q$ : vektory $(2;\ -1)$ a $(1;\ 1)$ nie sú násobkami — rôznobežné. Sčítam rovnice: $3x - 3 = 0$ , $x = 1$ ; z $q$ : $y = 4 - 1 = 3$ . Priesečník $P[1;\ 3]$ . Kontrola v $p$ : $2 - 3 + 1 = 0$ ✓
$p$ a $r$ : $(4;\ -2) = 2 \cdot (2;\ -1)$ , ale $2 \cdot 1 = 2 \ne -6$ — rovnobežné rôzne.
$p$ a $s$ : $-3 \cdot (2x - y + 1) = -6x + 3y - 3$ — celá rovnica je násobok — totožné.

Keď je jedna priamka parametricky

Parametrické rovnice dosaď do všeobecnej rovnice druhej priamky a vypočítaj $t$ .

Pre $p:\ x = 1 + t$ , $y = 2 + 3t$ a $q:\ x + y - 7 = 0$ : $(1 + t) + (2 + 3t) - 7 = 0$ , teda $4t = 4$ , $t = 1$ . Priesečník je $[1 + 1;\ 2 + 3] = [2;\ 5]$ .

Ak by $t$ „vypadlo“ a ostala nepravda (napr. $0 = 5$ ), priamky sú rovnobežné rôzne; ak ostane pravda ( $0 = 0$ ), sú totožné.

Odchýlka priamok

Odchýlka dvoch priamok je menší z uhlov, ktoré spolu zvierajú, preto $\varphi \in \langle 0^\circ;\ 90^\circ \rangle$ . Počítaš ju zo smerových vektorov $\vec u$ , $\vec v$ (alebo rovnako z normálových):

\cos \varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}

Absolútna hodnota v čitateli zaručí, že vyjde ostrý alebo pravý uhol. Rovnobežné priamky majú odchýlku $0^\circ$ .

Vypočítaj odchýlku priamok $p:\ 2x - y + 1 = 0$ a $q:\ x + y - 4 = 0$ .

Normálové vektory: $\vec n_1 = (2;\ -1)$ , $\vec n_2 = (1;\ 1)$
$\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1$
$|\vec n_1| = \sqrt{5}$ , $|\vec n_2| = \sqrt{2}$
$\cos \varphi = \dfrac{|1|}{\sqrt5 \cdot \sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}3162$
$\varphi \approx 71{,}57^\circ \approx 71^\circ 34'$

Uhol vektorov nie je vždy odchýlka priamok. Vektory $(1;\ 0)$ a $(-1;\ 1)$ zvierajú uhol $135^\circ$ , ale priamky s týmito smermi majú odchýlku $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ . Bez absolútnej hodnoty by ti vyšiel tupý uhol — a ten odchýlkou byť nemôže.

Kolmé priamky

Priamky sú kolmé ( $p \perp q$ ), keď je skalárny súčin ich smerových (alebo normálových) vektorov nulový:

\vec u \cdot \vec v = 0

\text{v smernicovom tvare:}

k_1 \cdot k_2 = -1

Priamky $y = 2x + 1$ a $y = -0{,}5x + 3$ sú kolmé: $2 \cdot (-0{,}5) = -1$ . Smernicu kolmice teda dostaneš ako „prevrátenú hodnotu s opačným znamienkom“: ku $k = 2$ je kolmá $k = -\tfrac12$ .

Na grafe nastav dve priamky a sleduj priesečník. Skús rovnaké $k$ (rovnobežky) a $k_1 \cdot k_2 = -1$ (kolmice):

Urči vzájomnú polohu a odchýlku priamok $y = 3x$ a $y = -x + 2$ .

Ukáž riešenie

Smernice $3 \ne -1$ — rôznobežné. Priesečník: $3x = -x + 2$ , $x = \tfrac12$ , $y = \tfrac32$ . Smerové vektory $\vec u = (1;\ 3)$ , $\vec v = (1;\ -1)$ : $\cos \varphi = \dfrac{|1 - 3|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{20}} \approx 0{,}4472$ , $\varphi \approx 63{,}43^\circ$ .

Hra: roztrieď dvojice priamok podľa vzájomnej polohy.

Zapamätaj si

Normálové vektory nie sú násobkami → rôznobežné, priesečník zo sústavy.
Násobkami sú: celá rovnica je násobok → totožné, inak rovnobežné rôzne.
Odchýlka: $\cos \varphi = \dfrac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$ , $\varphi \in \langle 0^\circ;\ 90^\circ \rangle$ .
Kolmé: $\vec u \cdot \vec v = 0$ , v smernicovom tvare $k_1 \cdot k_2 = -1$ .
Rovnobežné: $k_1 = k_2$ .