Optimalizačné úlohy

Máš 100 m pletiva a chceš ohradiť čo najväčšiu plochu pre psa. Výrobca chce plechovku, na ktorú minie čo najmenej plechu. Elektrikár chce zo zdroja dostať čo najväčší výkon. Všetko sú to optimalizačné úlohy — a derivácia ich vyrieši rovnakým postupom.

Postup v šiestich krokoch

Čo optimalizuješ? Pomenuj veličinu (plocha, objem, povrch, výkon).
Zapíš ju vzorcom — zvyčajne v nej sú dve neznáme.
Väzba: z podmienky zadania vyjadri jednu neznámu pomocou druhej → funkcia jednej premennej.
Definičný obor podľa reality (dĺžka je kladná, krabica musí mať dno).
Derivácia = 0, nájdi stacionárne body a over, že ide o maximum/minimum (znamienko $f'$ alebo $f''$ ). Ak je obor uzavretý interval, porovnaj aj hodnoty na jeho krajoch.
Odpoveď na otázku zo zadania — s jednotkami.

Ohrada pri stene

Ohrada pri stene domu (štvrtú stranu tvorí stena), 100 m pletiva. Aké rozmery dávajú najväčšiu plochu?

Plocha $S = x \cdot y$ , kde $x$ sú dve strany kolmé na stenu, $y$ strana rovnobežná so stenou.
Väzba: $2x + y = 100$ , teda $y = 100 - 2x$ a $S(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$
Definičný obor: $x \in (0;\ 50)$
$S'(x) = 100 - 4x = 0$ , teda $x = 25$ . $S''(x) = -4 \lt 0$ → maximum.
$y = 100 - 50 = 50$ , $S = 25 \cdot 50 = 1250\,\mathrm{m^2}$

Kolmé strany 25 m, strana pri stene 50 m, plocha 1 250 m². Pre porovnanie: pri $x = 20$ aj $x = 30$ je plocha len $1200\,\mathrm{m^2}$ .

Funkcia $S(x) = -2x^2 + 100x$ je parabola — skontroluj vrchol aj tu:

Krabica z kartónu

Z kartónu 30 cm × 30 cm odstrihneš v rohoch štvorce so stranou $x$ a okraje ohneš nahor. Dno má rozmery $(30 - 2x) \times (30 - 2x)$ , výška krabice je $x$ .

Aké veľké štvorce treba odstrihnúť, aby mala krabica najväčší objem?

$V(x) = x\,(30 - 2x)^2$ , definičný obor $x \in (0;\ 15)$
Súčin a zložená funkcia: $V'(x) = (30 - 2x)^2 + x \cdot 2(30 - 2x) \cdot (-2) = (30 - 2x)(30 - 6x)$
$V'(x) = 0$ pre $x = 15$ (mimo definičného oboru) alebo $x = 5$ .
Znamienko: $V'(4) \gt 0$ , $V'(6) \lt 0$ → v $x = 5$ je maximum.
$V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000\,\mathrm{cm^3}$

Odstrihni štvorce 5 cm × 5 cm, krabica bude mať objem 2 000 cm³, teda 2 litre. Kontrola: $V(4) = 1936\,\mathrm{cm^3}$ , $V(6) = 1944\,\mathrm{cm^3}$ — obe menej.

Plechovka s najmenším povrchom

Valcová plechovka má mať objem 330 cm³. Aký polomer a výška minú najmenej plechu?

Povrch $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , objem $V = \pi r^2 h = 330$
Väzba: $h = \dfrac{330}{\pi r^2}$ , teda $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{660}{r}$ , $r \gt 0$
$S'(r) = 4\pi r - \dfrac{660}{r^2} = 0$ , teda $r^3 = \dfrac{330}{2\pi}$ a $r \approx 3{,}74\,\mathrm{cm}$
Pre menšie $r$ je $S' \lt 0$ , pre väčšie $S' \gt 0$ → minimum.
$h = \dfrac{330}{\pi r^2} \approx 7{,}49\,\mathrm{cm}$ , povrch $S \approx 264\,\mathrm{cm^2}$

Polomer asi 3,7 cm, výška asi 7,5 cm. Všimni si: $h = 2r$ — plechovka s najmenším povrchom je presne taká vysoká ako široká. Platí to pri akomkoľvek objeme. Skutočné plechovky nápojov sú vyššie a užšie, pri ich návrhu rozhoduje aj to, ako sa držia v ruke.

Tri časté chyby. Funkcia s dvoma premennými sa nederivuje — najprv väzbou zníž počet premenných na jednu. Nezabudni na definičný obor: koreň $x = 15$ pri krabici dáva nulový objem, nie maximum. A na konci odpovedz na to, na čo sa zadanie pýta (rozmery, nie len $x$ ).

Elektro: zdroj s napätím $U = 12\,\mathrm{V}$ má vnútorný odpor $R_i = 2\,\Omega$ . Pri akom odpore spotrebiča $R$ bude výkon na spotrebiči najväčší a aký bude? Výkon je $P = R I^2$ a prúd $I = \dfrac{U}{R + R_i}$ .

Ukáž riešenie

$P(R) = \dfrac{144R}{(R + 2)^2}$ . Podiel: $P'(R) = \dfrac{144(R + 2)^2 - 144R \cdot 2(R + 2)}{(R + 2)^4} = \dfrac{144(2 - R)}{(R + 2)^3}$ .

$P' = 0$ pre $R = 2\,\Omega$ (pre $R \lt 2$ je $P' \gt 0$ , pre $R \gt 2$ je $P' \lt 0$ → maximum). $P = \dfrac{144 \cdot 2}{16} =$ $18\,\mathrm{W}$ . Pre porovnanie pri $R = 1\,\Omega$ aj $R = 4\,\Omega$ je výkon $16\,\mathrm{W}$ . Najväčší výkon dostaneš, keď sa odpor spotrebiča rovná vnútornému odporu zdroja.

Hra: priraď k úlohe funkciu, ktorej extrém hľadáš.

Zapamätaj si

Optimalizovanú veličinu zapíš ako funkciu jednej premennej (pomocou väzby zo zadania).
Urči definičný obor podľa reality a hľadaj stacionárne body: $f'(x) = 0$ .
Over, že ide o maximum/minimum (zmena znamienka $f'$ alebo znamienko $f''$ ).
Ohrada pri stene: $S = x(L - 2x)$ , optimum $x = \frac{L}{4}$ . Plechovka: najmenej plechu pri $h = 2r$ .
Najväčší výkon na spotrebiči: $R = R_i$ .