Priebeh funkcie: rast, klesanie, extrémy

Graf spotreby elektriny, výška lopty, cena akcie — pri každej krivke ťa zaujíma, kde stúpa, kde klesá a kde je najvyššie alebo najnižšie. Pri parabole si to vedel cez vrchol. Pri zložitejších funkciách ti to povie derivácia: jej znamienko prezradí smer a jej nuly miesta, kde sa smer láme.

Rast a klesanie

Derivácia je smernica dotyčnice. Kladná smernica = graf stúpa, záporná = klesá. Preto na intervale $I$ :

ak $f'(x) \gt 0$ pre všetky $x \in I$ , funkcia $f$ je na $I$ rastúca,
ak $f'(x) \lt 0$ pre všetky $x \in I$ , funkcia $f$ je na $I$ klesajúca.

Príklad: $f(x) = x^3 + x$ má $f'(x) = 3x^2 + 1 \gt 0$ všade, teda je rastúca na celom $\mathbb{R}$ . Funkcia $\frac{1}{x}$ má $f'(x) = -\frac{1}{x^2} \lt 0$ , preto na $(0;\ \infty)$ klesá.

Stacionárne body a extrémy

Bod, v ktorom $f'(x_0) = 0$ , je stacionárny — dotyčnica je tam vodorovná. Ak sa v ňom znamienko derivácie mení, má funkcia lokálny extrém:

$f'$ sa mení z $+$ na $-$ → lokálne maximum (vrchol kopca),
$f'$ sa mení z $-$ na $+$ → lokálne minimum (dno údolia).

Rýchly test druhou deriváciou ( $f''$ je derivácia funkcie $f'$ , teda deriváciu zderivuješ ešte raz): ak $f'(x_0) = 0$ a $f''(x_0) \lt 0$ , je tam maximum; ak $f''(x_0) \gt 0$ , minimum. Ak $f''(x_0) = 0$ , test nerozhodne — vtedy over zmenu znamienka $f'$ (napr. $x^3$ v nule extrém nemá, $x^4$ v nule minimum má).

Urči, kde $f(x) = x^3 - 3x$ rastie, kde klesá, a nájdi jej lokálne extrémy.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$
$f'(x) = 0$ pre $x = -1$ a $x = 1$ (stacionárne body).
Znamienko: $f'(-2) = 9 \gt 0$ , $f'(0) = -3 \lt 0$ , $f'(2) = 9 \gt 0$

interval	$(-\infty;\ -1)$	$-1$	$(-1;\ 1)$	$1$	$(1;\ \infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f$	rastie	max	klesá	min	rastie

$f(-1) = -1 + 3 = 2$ , $f(1) = 1 - 3 = -2$ . Kontrola druhou deriváciou: $f''(x) = 6x$ , $f''(-1) = -6 \lt 0$ (max), $f''(1) = 6 \gt 0$ (min).

Lokálne maximum $[-1;\ 2]$ , lokálne minimum $[1;\ -2]$ . Funkcia rastie na $(-\infty;\ -1\rangle$ a na $\langle 1;\ \infty)$ , klesá na $\langle -1;\ 1\rangle$ .

Graf $f(x) = x^3 - 3x$ : rastie, v bode $[-1;\ 2]$ má lokálne maximum, klesá, v bode $[1;\ -2]$ má lokálne minimum a potom zase rastie.

Stacionárne body hľadáš ako riešenie rovnice $f'(x) = 0$ — pri kubickej funkcii je to kvadratická rovnica. Pre $f'(x) = 3x^2 - 3$ ju vyrieš tu:

Nulová derivácia ešte nie je extrém. $f(x) = x^3$ má $f'(x) = 3x^2$ , teda $f'(0) = 0$ . Ale $3x^2 \ge 0$ zľava aj sprava — znamienko sa nemení, funkcia stále rastie a v nule extrém nemá (je tam len vodorovná dotyčnica). Vždy over zmenu znamienka.

Najväčšia a najmenšia hodnota na intervale

Na uzavretom intervale $\langle a;\ b\rangle$ môže byť najväčšia (najmenšia) hodnota spojitej funkcie, ktorá má vnútri intervalu deriváciu, v stacionárnom bode alebo na kraji intervalu. (Ak derivácia v niektorom bode neexistuje, over aj ten — napr. $\lvert x\rvert$ má v hrote $x = 0$ minimum, hoci $f'(0)$ neexistuje.) Postup: vypočítaj $f$ v stacionárnych bodoch vnútri intervalu aj v krajných bodoch a porovnaj.

Pre $f(x) = x^3 - 3x$ na $\langle -2;\ 3\rangle$ : $f(-2) = -2$ , $f(-1) = 2$ , $f(1) = -2$ , $f(3) = 18$ . Najväčšia hodnota je $18$ (v $x = 3$ ), najmenšia $-2$ (v $x = -2$ aj $x = 1$ ). Lokálne maximum $2$ teda nie je najväčšia hodnota na intervale.

Lopta vyletí z výšky 1,5 m, jej výška je $h(t) = -5t^2 + 10t + 1{,}5$ (m, s; počítame s $g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}$ ). Kedy a ako vysoko je najvyššie?

$h'(t) = -10t + 10$ — to je zároveň rýchlosť lopty $v(t)$ .
$h'(t) = 0$ pre $t = 1\,\mathrm{s}$ ; pred tým $h' \gt 0$ (stúpa), potom $h' \lt 0$ (padá) → maximum.
$h(1) = -5 + 10 + 1{,}5 = 6{,}5\,\mathrm{m}$

Najvyššie je po 1 s vo výške 6,5 m — v tej chvíli má nulovú rýchlosť. Rovnaký výsledok dáva vrchol paraboly z 1. ročníka.

Nájdi lokálne extrémy funkcie $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

Ukáž riešenie

$g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ , stacionárne body $1$ a $3$ . Znamienko $g'$ : $+$ , $-$ , $+$ . Lokálne maximum $[1;\ 5]$ , lokálne minimum $[3;\ 1]$ ( $g(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$ , $g(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$ ).

Hra: podľa znamienka derivácie roztrieď, či funkcia na danom intervale rastie, alebo klesá.

Zapamätaj si

$f' \gt 0$ na intervale → $f$ rastie; $f' \lt 0$ → $f$ klesá.
Stacionárny bod: $f'(x_0) = 0$ ; extrém je tam len vtedy, keď $f'$ mení znamienko.
$+$ na $-$ = lokálne maximum, $-$ na $+$ = lokálne minimum (alebo $f'' \lt 0$ max, $f'' \gt 0$ min).
Na uzavretom intervale porovnaj hodnoty v stacionárnych bodoch aj na krajoch.
$f(x) = x^3$ : $f'(0) = 0$ , ale extrém tam nie je.