Pravidlá derivovania

Počítať každú deriváciu cez limitu je ako chodiť do školy pešo, keď ide autobus. Raz sa limitou odvodili vzorce pre základné funkcie a pravidlá pre ich kombinácie — odvtedy derivuješ za pár sekúnd. Presne to sa od teba čaká v písomke aj pri optimalizačných úlohách v ďalších lekciách.

Základné derivácie

funkcia	derivácia	poznámka
$c$ (konštanta)	$0$	konštanta sa nemení
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	aj pre záporné a zlomkové $n$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$x \gt 0$ , je to $x^{1/2}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$x \ne 0$ , je to $x^{-1}$
$\sin x$	$\cos x$	$x$ v radiánoch
$\cos x$	$-\sin x$	$x$ v radiánoch
$e^x$	$e^x$	derivácia je opäť $e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x \gt 0$

Napríklad $(x^5)' = 5x^4$ , $(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ , $(x^{1/2})' = \frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — dva riadky tabuľky sú len mocninové pravidlo.

Súčet, násobok konštantou, polynóm

(c \cdot f)' = c \cdot f'

(f \pm g)' = f' \pm g'

Polynóm preto derivuješ člen po člene.

Zderivuj $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$ .

$(3x^4)' = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$
$(-5x^2)' = -10x$ , $(7x)' = 7$ , $(-2)' = 0$

$f'(x) = 12x^3 - 10x + 7$

Súčin a podiel

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

a) $(x^2 \sin x)'$ , b) $\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)'$

a) $f = x^2$ , $g = \sin x$ : $\ 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$ , teda $2x\sin x + x^2 \cos x$

b) $f = x + 1$ , $g = x - 1$ , $f' = g' = 1$ : $\ \dfrac{1 \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}$ , teda $\dfrac{-2}{(x - 1)^2}$ pre $x \ne 1$

Derivácia súčinu nie je súčin derivácií. $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$ , ale $x' \cdot x' = 1 \cdot 1 = 1$ — nesedí. Pri podiele je v čitateli mínus a záleží na poradí: najprv $f' g$ , potom $f g'$ . A menovateľ $g^2$ sa nederivuje.

Zložená funkcia

Funkcia $\sin 3x$ je zložená: vonkajšia $\sin u$ , vnútorná $u = 3x$ . Pravidlo: derivácia vonkajšej (vnútro nechaj) krát derivácia vnútornej:

\big(f(g(x))\big)' = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x)

$(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$
$\left((2x + 1)^5\right)' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$
$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$
$\left(\ln(x^2 + 1)\right)' = \dfrac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

Striedavé napätie. V zásuvke je $u = U_m \sin \omega t$ , kde $U_m \approx 325\,\mathrm{V}$ a $\omega = 2\pi \cdot 50\,\mathrm{Hz} \approx 314\,\mathrm{rad/s}$ . Rýchlosť zmeny napätia je $u' = U_m\,\omega \cos \omega t$ (zložená funkcia, vnútro $\omega t$ ). Kosínus je najväčší v absolútnej hodnote tam, kde je sínus nulový — napätie sa mení najrýchlejšie pri prechode nulou.

Zderivuj: a) $(x^3 - 2x)(x + 1)$ — pravidlom pre súčin, b) $\cos(x^2)$ .

Ukáž riešenie

a) $(3x^2 - 2)(x + 1) + (x^3 - 2x) \cdot 1 = 3x^3 + 3x^2 - 2x - 2 + x^3 - 2x$ , teda $4x^3 + 3x^2 - 4x - 2$ . Skúška: roznásob $x^4 + x^3 - 2x^2 - 2x$ a zderivuj člen po člene — vyjde to isté.

b) Vonkajšia $\cos u$ , vnútorná $x^2$ : $-\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$ .

Hra 1: pexeso — nájdi k funkcii jej deriváciu.

Hra 2: chyť správnu deriváciu. Zlé balóniky sú typické chyby — zabudnutý koeficient, zabudnutá vnútorná derivácia, súčin derivácií.

Zapamätaj si

$(x^n)' = n x^{n-1}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , $c' = 0$ .
Súčet a násobok konštantou: derivuj člen po člene.
Súčin: $(fg)' = f'g + fg'$ . Podiel: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ .
Zložená: $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ — nezabudni na deriváciu vnútra.
Goniometrické funkcie derivuj len s $x$ v radiánoch.

Pravidlá derivovania

Základné derivácie

Súčet, násobok konštantou, polynóm

Súčin a podiel

Zložená funkcia

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí