Derivácia: dotyčnica a okamžitá rýchlosť

Navigácia ti po ceste z Bratislavy do Žiliny ukáže priemernú rýchlosť, ale tachometer ukazuje niečo iné — rýchlosť práve teraz. Ako sa dá zmerať rýchlosť v jednom okamihu, keď za nulový čas prejdeš nulovú dráhu? Odpoveďou je derivácia — limita, ktorú poznáš z minulej lekcie, použitá na zmenu.

Priemerná rýchlosť a sečnica

Kameň padá voľným pádom, jeho dráha je $s(t) = 5t^2$ (metre, sekundy; počítame s $g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}$ ). Priemerná rýchlosť medzi časmi $1\,\mathrm{s}$ a $2\,\mathrm{s}$ :

v_p = \frac{s(2) - s(1)}{2 - 1} = \frac{20 - 5}{1} = 15\,\mathrm{m/s}

Geometricky je to smernica sečnice — priamky cez dva body grafu. Všeobecne pre funkciu $f$ a body $x_0$ , $x_0 + h$ :

\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Tento podiel zmien ( $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ) hovorí, o koľko sa v priemere zmení $f$ na jednotku $x$ .

Okamžitá rýchlosť = limita

Zmenšuj interval za časom $1\,\mathrm{s}$ :

interval	$\langle 1;\ 2\rangle$	$\langle 1;\ 1{,}1\rangle$	$\langle 1;\ 1{,}01\rangle$	$\langle 1;\ 1{,}001\rangle$
$v_p$ v m/s	$15$	$10{,}5$	$10{,}05$	$10{,}005$

Hodnoty sa blížia k $10\,\mathrm{m/s}$ . Všeobecne: $\dfrac{5(t + h)^2 - 5t^2}{h} = 10t + 5h$ , a pre $h \to 0$ zostane $10t$ . V čase $1\,\mathrm{s}$ je to $10\,\mathrm{m/s}$ , teda $36\,\mathrm{km/h}$ — presne $v = g \cdot t$ z fyziky.

Derivácia funkcie $f$ v bode $x_0$ :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Ak táto limita existuje, funkcia je v bode $x_0$ diferencovateľná.

Derivácia = rýchlosť zmeny. Rýchlosť je derivácia dráhy podľa času: $v = s'(t)$ . Zrýchlenie je derivácia rýchlosti: $a = v'(t)$ . V elektrotechnike je prúd derivácia náboja podľa času, $i = q'(t)$ — priemerný prúd $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ už poznáš.

Na posuvníkoch nastav $v_0 = 0$ a $a = 10\,\mathrm{m/s^2}$ (voľný pád). Všimni si: kde je graf $s(t)$ strmší, tam je rýchlosť $v(t)$ väčšia — rýchlosť je smernica grafu dráhy.

Dotyčnica

Keď sa druhý bod sečnice približuje k prvému, sečnica sa otáča a v limite z nej je dotyčnica. Preto:

$f'(x_0)$ je smernica dotyčnice ku grafu funkcie $f$ v bode $[x_0;\ f(x_0)]$ .

Rovnica dotyčnice:

y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0)

Nájdi dotyčnicu ku grafu $f(x) = x^2$ v bode $x_0 = 1$ .

$f(1) = 1$ , dotykový bod je $[1;\ 1]$ .
$\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h \to 2$ , teda $f'(1) = 2$ .
$y - 1 = 2(x - 1)$ , teda $y = 2x - 1$

Dotyčnica: $y = 2x - 1$ . Sečnica cez $[1;\ 1]$ a $[2;\ 4]$ má smernicu $\frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ — je strmšia.

Parabola $y = x^2$ : sečnica cez $[1;\ 1]$ a $[2;\ 4]$ má smernicu $3$ , dotyčnica v bode $[1;\ 1]$ má smernicu $f'(1) = 2$ a rovnicu $y = 2x - 1$ .

Derivácia ako funkcia

Ak deriváciu spočítaš vo všeobecnom bode $x$ , dostaneš novú funkciu $f'$ . Pre $f(x) = x^2$ :

\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \ \to\ 2x,

\text{teda } (x^2)' = 2x

Takže $f'(1) = 2$ , $f'(3) = 6$ , $f'(-2) = -4$ . Kladná derivácia = graf v tom mieste stúpa, záporná = klesá, nulová = dotyčnica je vodorovná.

$f'(x_0)$ nie je $f(x_0)$ . Pre $f(x) = x^2$ v bode $3$ je $f(3) = 9$ (výška grafu), ale $f'(3) = 6$ (strmosť grafu). A priemerná rýchlosť nie je okamžitá: kameň má medzi $1\,\mathrm{s}$ a $2\,\mathrm{s}$ priemer $15\,\mathrm{m/s}$ , ale v čase $1\,\mathrm{s}$ len $10\,\mathrm{m/s}$ .

Pre $f(x) = x^2$ urči $f'(2)$ a rovnicu dotyčnice v bode $x_0 = 2$ .

Ukáž riešenie

$f'(x) = 2x$ , teda $f'(2) = 4$ . Dotykový bod $[2;\ 4]$ . Dotyčnica: $y - 4 = 4(x - 2)$ , teda $y = 4x - 4$ .

Zapamätaj si

Smernica sečnice = podiel zmien $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ (priemerná rýchlosť).
$f'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ — okamžitá rýchlosť zmeny.
$f'(x_0)$ je smernica dotyčnice; dotyčnica: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ .
Vo fyzike $v = s'(t)$ , $a = v'(t)$ , v elektrotechnike $i = q'(t)$ .
$(x^2)' = 2x$ ; pri $f'(x_0) = 0$ je dotyčnica vodorovná.

Derivácia: dotyčnica a okamžitá rýchlosť

Priemerná rýchlosť a sečnica

Okamžitá rýchlosť = limita

Dotyčnica

Derivácia ako funkcia

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí