Limita postupnosti a funkcie

Kondenzátor sa nabíja zo zdroja 12 V. Po chvíli má 7,6 V, potom 11,9 V, ale 12 V nikdy presne nedosiahne — len sa k nim blíži. Matematika má na „blíži sa, ale nemusí dosiahnuť“ presný pojem: limita. Je to základ derivácie aj integrálu, ktoré prídu v ďalších lekciách.

Limita postupnosti

Vezmi postupnosť $a_n = \dfrac{1}{n}$ : $\ 1;\ 0{,}5;\ \dots;\ a_{10} = 0{,}1;\ a_{100} = 0{,}01;\ a_{1000} = 0{,}001$ . Členy sa s rastúcim $n$ približujú k nule — ľubovoľne blízko, stačí ísť dosť ďaleko. Píšeme

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Limita postupnosti je číslo $a$ , ku ktorému sa členy $a_n$ pre veľké $n$ blížia ľubovoľne blízko. Postupnosť s limitou je konvergentná. Ak limitu nemá, je divergentná — napríklad $a_n = n^2$ rastie nad všetky medze (píšeme $\lim n^2 = \infty$ ) a $a_n = (-1)^n$ skáče medzi $-1$ a $1$ .

Postupnosť $a_n = \dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$ : $a_1 = 2$ , $a_2 = 1{,}5$ , $a_{10} = 1{,}1$ , $a_{100} = 1{,}01$ . Body sa blížia k priamke $y = 1$ , ale nikdy na ňu nepadnú — limita je $1$ .

Ako limitu vypočítať

Tri pravidlá ti stačia na väčšinu úloh:

$\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$ a $\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0$ pre $|q| \lt 1$ (geometrická postupnosť).
Limita súčtu, rozdielu, súčinu a podielu je súčet, rozdiel, súčin a podiel limít (pri podiele nesmie byť v menovateli limita $0$ ).
Podiel polynómov: čitateľa aj menovateľa vydeľ najvyššou mocninou $n$ z menovateľa.

Vypočítaj $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 + 5}$ .

Vydeľ čitateľa aj menovateľa $n^2$ : $\dfrac{3 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}}$
Zlomky $\frac{1}{n^2}$ a $\frac{5}{n^2}$ idú k nule.
Zostane $\dfrac{3 + 0}{1 + 0} = 3$

Limita je 3. Rýchle pravidlo: rovnaký stupeň → pomer koeficientov pri najvyššej mocnine; vyšší stupeň v menovateli → $0$ (napr. $\lim \frac{2n+1}{n^2} = 0$ ); vyšší stupeň v čitateli → $\infty$ alebo $-\infty$ podľa znamienok vedúcich koeficientov (napr. $\lim \frac{n^2+1}{2n+3} = \infty$ , ale $\lim \frac{1-n^2}{2n+3} = -\infty$ ).

Nekonečný súčet má konečný výsledok. Čiastočné súčty $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ sú $0{,}5;\ 0{,}75;\ 0{,}875;\ \dots$ a po desiatich členoch $0{,}9990234375$ . Sú to členy postupnosti $s_n = 1 - \left(\frac12\right)^n$ a jej limita je $1$ . Tak je definovaný súčet nekonečného geometrického radu: pre $|q| \lt 1$ je $s = \dfrac{a_1}{1 - q}$ , tu $\dfrac{0{,}5}{1 - 0{,}5} = 1$ .

Limita funkcie v bode

Funkcia $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ nie je v bode $x = 1$ definovaná (delenie nulou). Ale čo sa deje blízko jednotky?

$x$	$0{,}9$	$0{,}99$	$1$	$1{,}01$	$1{,}1$
$f(x)$	$1{,}9$	$1{,}99$	nedefinované	$2{,}01$	$2{,}1$

Hodnoty sa zľava aj sprava blížia k $2$ . Píšeme $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$ . Limita funkcie v bode $a$ hovorí, k čomu sa blížia hodnoty $f(x)$ , keď sa $x$ blíži k $a$ — na hodnote $f(a)$ vôbec nezáleží, funkcia tam ani nemusí byť definovaná.

Pre $x \ne 1$ je $f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ . Graf je priamka s „dierou“ v bode $[1;\ 2]$ — limita v $x = 1$ je $2$ .

Vypočítaj $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Dosadenie dáva $\frac{0}{0}$ — to nie je výsledok, je to signál „uprav výraz“.
Rozlož čitateľa: $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ pre $x \ne 3$ .
$\lim\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6$

Limita je 6. Ak by dosadenie dalo normálne číslo, napr. $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ , si hotový hneď.

$\frac{0}{0}$ nie je $0$ ani $1$ . Je to neurčitý výraz — výsledok môže byť čokoľvek (v príkladoch vyššie $2$ aj $6$ ). Vždy najprv rozlož a skráť. A ešte: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n+1}{n^2+2}$ nie je $\frac12$ — to je hodnota pre $n = 0$ , limita sa pýta na veľké $n$ .

Spojitosť

Funkcia $f$ je spojitá v bode $a$ , ak je v ňom definovaná a $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Názorne: graf v okolí bodu nakreslíš bez zdvihnutia ceruzky. Polynómy, $\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ sú spojité všade, kde sú definované — preto u nich limitu vypočítaš dosadením.

Nespojitosť v praxi: parkovanie stojí 1 € za každú začatú hodinu. Pri 1 h 59 min platíš 2 €, pri presne 2 h tiež 2 €, ale pri 2 h 1 min už 3 €. V čase 2 h cena skočí — funkcia tam nie je spojitá. Podobne funkcia $\frac{x^2-1}{x-1}$ nie je spojitá v $x = 1$ , lebo tam nie je definovaná.

Vypočítaj: a) $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2n^2 - 3n}{5n^2 + 1}$ , b) $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ .

Ukáž riešenie

a) Rovnaký stupeň, pomer koeficientov pri $n^2$ : $\frac{2}{5} = 0{,}4$ .

b) Dosadenie dáva $\frac{0}{0}$ . Rozklad $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ , po skrátení $x - 3$ , limita $2 - 3 = -1$ .

Hra: chyť správnu limitu — najprv sa pozri, či stačí dosadiť.

Zapamätaj si

$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = a$ : členy postupnosti sa pre veľké $n$ blížia k $a$ ľubovoľne blízko.
Podiel polynómov: vydeľ najvyššou mocninou; rovnaký stupeň → pomer vedúcich koeficientov.
$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ nezávisí od $f(a)$ — funkcia v $a$ ani nemusí byť definovaná.
Pri $\frac{0}{0}$ rozlož a skráť, pri spojitej funkcii dosaď.
Spojitá v $a$ : $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ — graf bez skoku a bez diery.

Limita postupnosti a funkcie