Vety o podobnosti trojuholníkov (sss, sus, uu)

Vety o podobnosti sú skratka: namiesto merania troch strán a troch uhlov ti stačí pár údajov — presne ako pri zhodnosti v 6. ročníku (sss, sus, usu). Bez nich by si v ďalšej lekcii nezmeral výšku stromu ani šírku rieky. Na strednej škole sa o ne opierajú sínus a kosínus aj mnohé fyzikálne nákresy.

Čo musíš poznať pri jednotlivých vetách: sss — všetky tri strany, sus — dve strany a uhol, ktorý zvierajú, uu — dva uhly.

Veta sss

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa pomery všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán rovnajú.

Ktorá strana zodpovedá ktorej? Zoraď strany oboch trojuholníkov podľa veľkosti a delí najkratšiu najkratšou, strednú strednou, najdlhšiu najdlhšou.

Trojuholníky so stranami 4, 6, 8 cm a 9, 12, 6 cm. Zoradené: 4, 6, 8 a 6, 9, 12.

$6 : 4 = 1{,}5$ , $\;9 : 6 = 1{,}5$ , $\;12 : 8 = 1{,}5$ → podobné, $k = 1{,}5$ .

Keby druhý mal strany 6, 9, 13 cm: $13 : 8 = 1{,}625 \ne 1{,}5$ → nie sú podobné, hoci dva pomery sedia.

Veta sus

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v pomere dvoch strán a v uhle, ktorý tieto strany zvierajú.

$\triangle ABC$ : $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 4$ cm, $|\angle BAC| = 50°$ . $\triangle KLM$ : $|KL| = 9$ cm, $|KM| = 6$ cm, $|\angle LKM| = 50°$ .

$9 : 6 = 1{,}5$ a $6 : 4 = 1{,}5$ , uhol medzi stranami je v oboch $50°$ → podobné podľa sus, $k = 1{,}5$ . Tretia strana $LM$ je tiež $1{,}5$ -krát dlhšia ako $BC$ .

Uhol musí ležať medzi tými dvoma stranami. Dve strany v rovnakom pomere a nejaký iný rovnaký uhol na podobnosť nestačia.

Veta uu

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v dvoch uhloch. Tretí uhol sa potom zhoduje sám, lebo súčet uhlov v trojuholníku je $180°$ . Strany pri tejto vete nepotrebuješ vôbec.

Uhly $40°$ a $75°$ → tretí $180° - 40° - 75° = 65°$ . Trojuholník s uhlami $65°$ a $40°$ je s ním podobný.
Uhly $40°$ a $70°$ → tretí je $70°$ . S trojuholníkom $40°$ , $75°$ , $65°$ podobný nie je.
Všetky rovnostranné trojuholníky sú podobné (uhly $60°$ , $60°$ , $60°$ ). Pravouhlé trojuholníky podobné byť nemusia — potrebujú ešte jeden rovnaký ostrý uhol.

Trojuholník odseknutý rovnobežkou

Častá situácia v úlohách: v trojuholníku vedieš rovnobežku s jednou stranou. Odsekne menší trojuholník, ktorý je s veľkým podobný podľa uu — majú spoločný uhol a ďalšie uhly sú rovnaké, lebo rovnobežka zviera s ramenom taký istý uhol ako strana $AB$ .

$DE \parallel AB$ . Oranžové uhly pri $D$ a pri $A$ sú rovnaké, uhol pri $C$ je spoločný. Malý trojuholník $DEC$ je zmenšeninou veľkého $ABC$ .

Podľa obrázka: $|CD| = 4$ cm, $|DA| = 6$ cm, $|DE| = 3$ cm. Vypočítaj $|AB|$ .

$\triangle DEC \sim \triangle ABC$ podľa uu.
Zodpovedajúce strany: $CD \leftrightarrow CA$ . Pozor, $|CA| = 4 + 6 = 10$ cm, nie 6 cm.
$k = |CA| : |CD| = 10 : 4 = 2{,}5$
$|AB| = 2{,}5 \cdot |DE| = 2{,}5 \cdot 3 =$ 7,5 cm

Častá chyba: porovnať $DA$ s $CD$ (teda $6 : 4$ ). Úsečka $DA$ nie je stranou žiadneho z dvoch trojuholníkov — strana veľkého trojuholníka je celé $CA$ .

Trojuholníky so stranami 5, 6, 8 cm a 10, 12, 15 cm. Sú podobné?

Ukáž riešenie

$10 : 5 = 2$ , $12 : 6 = 2$ , ale $15 : 8 = 1{,}875$ . Tretí pomer nesedí → nie sú podobné. Podobný by bol trojuholník 10, 12, 16 cm.

Teraz ty:

Zapamätaj si

sss: pomery všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán sú rovnaké (najkratšia k najkratšej…).
sus: dve strany v rovnakom pomere a rovnaký uhol, ktorý tieto strany zvierajú.
uu: dva rovnaké uhly (tretí je potom rovnaký sám, súčet je $180°$ ).
Rovnobežka so stranou odsekne podobný trojuholník; porovnávaj celé strany ( $CA$ , nie $DA$ ).