Podobné útvary a pomer podobnosti

Podobnosť potrebuješ vždy, keď niečo zväčšuješ alebo zmenšuješ tak, aby sa to nepokrivilo — fotka na mobile, plán bytu, mapa, model auta. Vo fyzike ju stretneš pri tieni a zrkadlách, na strednej škole pri sínuse a kosínuse. Kedy je zväčšená fotka „rovnaká“ a kedy roztiahnutá? To vyrieši jedno číslo: pomer podobnosti.

Čo sú podobné útvary

Dva útvary sú podobné, keď majú rovnaký tvar, ale môžu mať inú veľkosť. Všetky dĺžky jedného dostaneš tak, že dĺžky druhého vynásobíš tým istým číslom. Uhly sa pri tom nemenia.

Fotka 10 × 15 cm zväčšená na 20 × 30 cm: obe strany krát 2, tvár ostala guľatá. Pri 20 × 15 cm je šírka krát 2, ale výška krát 1 — tvár je roztiahnutá do šírky. Rozmery sú v centimetroch.

Príklady podobných útvarov okolo teba: zväčšená fotka v galérii, plán izby, mapa a krajina, model auta a skutočné auto, dva štvorce rôznej veľkosti, dva rovnostranné trojuholníky.

Podobnosť je o násobení, nie o pripočítaní. Obdĺžnik 2 × 3 cm a obdĺžnik 4 × 5 cm nie sú podobné, hoci obe strany narástli o 2 cm: $4 : 2 = 2$ , ale $5 : 3 \approx 1{,}67$ .

Pomer podobnosti k

Číslo, ktorým násobíš všetky dĺžky, je pomer podobnosti $k$ :

k = \frac{\text{dĺžka na obraze}}{\text{zodpovedajúca dĺžka na pôvodnom útvare}} = \frac{|A'B'|}{|AB|}

$k > 1$ — zväčšenie (fotka na celú obrazovku),
$k < 1$ — zmenšenie (model auta, mapa),
$k = 1$ — útvary sú zhodné (zhodnosť je špeciálny prípad podobnosti).

Každá strana väčšieho trojuholníka je dvakrát dlhšia: $8 : 4 = 6 : 3 = 10 : 5 = 2$ , teda $k = 2$ . Pravý uhol ostal pravým uhlom.

Trojuholník so stranami 4 cm, 6 cm a 8 cm zväčšíme v pomere $k = 1{,}5$ .

$4 \cdot 1{,}5 = 6$ cm, $6 \cdot 1{,}5 = 9$ cm, $8 \cdot 1{,}5 = 12$ cm.

Obvod pred: $4 + 6 + 8 = 18$ cm, po: $6 + 9 + 12 = 27$ cm — a to je presne $1{,}5 \cdot 18 = 27$ . Aj obvod sa zväčší k-krát.

Zodpovedajúce strany a uhly

Zápis $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ čítaj „trojuholník $ABC$ je podobný trojuholníku $A'B'C'$ “. Poradie vrcholov hovorí, čo k čomu patrí: $A \leftrightarrow A'$ , $B \leftrightarrow B'$ , $C \leftrightarrow C'$ . Zodpovedajúce uhly sú rovnaké a pre strany platí

\frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{|B'C'|}{|BC|} = \frac{|A'C'|}{|AC|} = k

Postup pri úlohách: 1. z jednej dvojice známych strán vypočítaj $k$ , 2. ostatné strany vynásob číslom $k$ .

$\triangle ABC \sim \triangle KLM$ , pričom $|AB| = 5$ cm, $|BC| = 7$ cm, $|AC| = 9$ cm a $|KL| = 7{,}5$ cm. Dopočítaj ostatné strany.

$KL$ zodpovedá $AB$ : $k = 7{,}5 : 5 = 1{,}5$
$|LM| = 7 \cdot 1{,}5 =$ 10,5 cm, $|KM| = 9 \cdot 1{,}5 =$ 13,5 cm

Mierku poznáš zo 7. ročníka — a je to pomer podobnosti. Model auta v mierke 1 : 43 má $k = \frac{1}{43}$ . Auto dlhé 4,3 m = 430 cm má model dlhý $430 : 43 = 10$ cm.

a) Fotku 9 × 13 cm chceš vyvolať ako 13 × 18 cm. Je to len zväčšenie, alebo sa časť fotky odreže? b) Trojuholník so stranami 6 cm, 8 cm a 10 cm zmenšíš v pomere $k = 0{,}25$ . Aké má strany?

Ukáž riešenie

a) $13 : 9 \approx 1{,}44$ , ale $18 : 13 \approx 1{,}38$ . Pomery sa líšia, útvary nie sú podobné — fotka sa musí orezať (alebo zostanú biele okraje). b) $6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5$ cm, $8 \cdot 0{,}25 = 2$ cm, $10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5$ cm → 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm.

Teraz ty — počítaj pomer podobnosti a strany:

Zapamätaj si

Podobné útvary majú rovnaký tvar: všetky dĺžky sa násobia tým istým číslom $k$ , uhly sa nemenia.
Pomer podobnosti $k = \dfrac{|A'B'|}{|AB|}$ (obraz : pôvodný útvar); $k > 1$ zväčšenie, $k < 1$ zmenšenie, $k = 1$ zhodnosť.
Obvod podobného útvaru je tiež $k$ -krát väčší (menší).
Pri $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ poradie vrcholov určuje zodpovedajúce strany a uhly.

Podobné útvary a pomer podobnosti

Čo sú podobné útvary

Pomer podobnosti k

Zodpovedajúce strany a uhly

Zapamätaj si

🧠 Kvíz — over si, či to sedí