Pytagorova veta v praxi: rebrík, uhlopriečka, mapa

„40-palcový televízor“ — čo vlastne meria tých 40 palcov? Ako vysoko dosiahne rebrík opretý o stenu? Ako ďaleko je to k zastávke vzdušnou čiarou? Všetky tri otázky sú tá istá úloha: nájdi pravouhlý trojuholník a použi Pytagorovu vetu. V Testovaní 9 bývajú takéto úlohy zabalené do príbehu — naučíš sa ich rozbaliť.

Ako na slovnú úlohu

Nakresli si situáciu (aj veľmi jednoducho).
Nájdi pravý uhol — stena a zem, šírka a výška obrazovky, sever a východ.
Označ preponu — stranu oproti pravému uhlu (rebrík, uhlopriečka, vzdušná čiara).
Počítaj: prepona $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , odvesna $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ .
Odpovedz vetou s jednotkou a zaokrúhli, ako chce zadanie.

Rebrík pri stene

Stena a zem zvierajú pravý uhol. Rebrík je prepona, odvesny sú výška na stene a vzdialenosť päty rebríka od steny.

Rebrík $5\,\mathrm{m}$ je prepona, vzdialenosť päty $1{,}5\,\mathrm{m}$ a výška $h$ sú odvesny.

Rebrík dlhý $5\,\mathrm{m}$ má pätu $1{,}5\,\mathrm{m}$ od steny. Do akej výšky siaha?

Hľadáš odvesnu: $h = \sqrt{5^2 - 1{,}5^2}$ .
$5^2 = 25$ , $\;1{,}5^2 = 2{,}25$ , $\;25 - 2{,}25 = 22{,}75$ .
$h = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\,\mathrm{m}$ .

Odpoveď: rebrík siaha do výšky približne $4{,}77\,\mathrm{m}$ .

Uhlopriečka obrazovky

Veľkosť televízora, monitora či mobilu sa udáva ako uhlopriečka obrazovky v palcoch (1 palec = $2{,}54\,\mathrm{cm}$ ). Šírka a výška obrazovky sú odvesny, uhlopriečka je prepona.

Obrazovka má šírku $89\,\mathrm{cm}$ a výšku $50\,\mathrm{cm}$ . Koľko palcov má televízor?

$u = \sqrt{89^2 + 50^2} = \sqrt{7\,921 + 2\,500} = \sqrt{10\,421} \approx 102{,}08\,\mathrm{cm}$ .
Na palce: $102{,}08 : 2{,}54 \approx 40{,}19$ .

Odpoveď: je to 40-palcový televízor.

Rovnako vypočítaš uhlopriečku hocijakého obdĺžnika — futbalového ihriska, displeja, dosky stola: $u = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Pri štvorci so stranou $a$ vyjde $u = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2}$ , napríklad pri $a = 1\,\mathrm{m}$ je $u \approx 1{,}41\,\mathrm{m}$ .

Vzdialenosť na mape

Na mape so štvorcovou sieťou je cesta „doprava a hore“ ako dve odvesny. Vzdušná čiara je prepona.

Z bodu $A[1; 1]$ do bodu $B[7; 9]$ ideš $6$ dielikov doprava a $8$ hore. Vzdušná čiara je prepona: $10$ dielikov.

Na mape je 1 dielik = $100\,\mathrm{m}$ . Ako ďaleko je $B$ od $A$ vzdušnou čiarou?

Odvesny: $7 - 1 = 6$ dielikov a $9 - 1 = 8$ dielikov.
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$ dielikov.
$10 \cdot 100\,\mathrm{m} =$ $1\,000\,\mathrm{m} = 1\,\mathrm{km}$ .

Po uliciach „doprava, potom hore“ je to $(6 + 8) \cdot 100 = 1\,400\,\mathrm{m}$ .

Výška stanu a strechy

Predná stena stanu je rovnoramenný trojuholník. Výška ho rozdelí na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky: rameno je prepona, polovica základne a výška sú odvesny.

Stan má ramená $2{,}5\,\mathrm{m}$ a základňu $3\,\mathrm{m}$ . Aký je vysoký?

Polovica základne: $3 : 2 = 1{,}5\,\mathrm{m}$ .
$v = \sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 - 2{,}25} = \sqrt{4} =$ $2\,\mathrm{m}$ .

Pri rovnoramennom trojuholníku nedosadzuj celú základňu — odvesna je len jej polovica. S celou základňou by ti vyšlo $\sqrt{6{,}25 - 9}$ , a to sa ani nedá vypočítať.

Displej mobilu má šírku $6{,}5\,\mathrm{cm}$ a výšku $14\,\mathrm{cm}$ . Koľko palcov má jeho uhlopriečka? Zaokrúhli na desatiny.

Ukáž riešenie

$u = \sqrt{6{,}5^2 + 14^2} = \sqrt{42{,}25 + 196} = \sqrt{238{,}25} \approx 15{,}44\,\mathrm{cm}$ . $15{,}44 : 2{,}54 \approx 6{,}08$ → displej má približne $6{,}1$ palca.

Teraz ty — rebrík, ihrisko, televízor aj rampa, výsledok na desatiny (kalkulačka povolená):

Zapamätaj si

V úlohe najprv nájdi pravý uhol a preponu — rebrík, uhlopriečka, vzdušná čiara.
Uhlopriečka obdĺžnika: $u = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; obrazovky sa udávajú v palcoch, 1 palec = $2{,}54\,\mathrm{cm}$ .
Na mape sú odvesny posuny doprava a hore, prepona je vzdušná čiara — nezabudni na mierku.
Pri rovnoramennom trojuholníku je odvesnou polovica základne.