Výpočet prepony a odvesny

Trávnik v parku má tvar obdĺžnika $40\,\mathrm{m} \times 30\,\mathrm{m}$ a chodník vedie okolo neho. Koľko metrov meria vychodená skratka šikmo cez trávnik? Pytagorova veta ti to povie za pol minúty. Presne takýto výpočet budeš robiť v Testovaní 9 aj vo fyzike.

Výpočet prepony

Poznáš obe odvesny $a$ , $b$ a hľadáš preponu $c$ . Z vety $c^2 = a^2 + b^2$ stačí odmocniť:

c = \sqrt{a^2 + b^2}

Postup: umocni, sčítaj, odmocni.

Skratka cez trávnik: odvesny sú strany trávnika $40\,\mathrm{m}$ a $30\,\mathrm{m}$ , skratka je prepona.

Umocni: $40^2 = 1\,600$ , $\;30^2 = 900$ .
Sčítaj: $1\,600 + 900 = 2\,500$ .
Odmocni: $c = \sqrt{2\,500} =$ $50\,\mathrm{m}$ .

Po chodníku je to $40 + 30 = 70\,\mathrm{m}$ , skratkou $50\,\mathrm{m}$ — ušetríš $20\,\mathrm{m}$ . (Trávnik ti však nepoďakuje.)

Často nevyjde celé číslo. Odvesny $5\,\mathrm{cm}$ a $7\,\mathrm{cm}$ : $c = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \approx 8{,}60\,\mathrm{cm}$ . Odmocninu vypočítaš na kalkulačke a zaokrúhliš, ako žiada úloha.

Výpočet odvesny

Poznáš preponu $c$ a jednu odvesnu $a$ . Z $c^2 = a^2 + b^2$ vyjadríš $b^2 = c^2 - a^2$ , a teda:

b = \sqrt{c^2 - a^2}

Postup: umocni, od prepony odčítaj, odmocni.

Šnúra šarkana je prepona ( $50\,\mathrm{m}$ ), vzdialenosť po zemi a výška šarkana sú odvesny.

Šarkan: šnúra má $50\,\mathrm{m}$ , šarkan je vodorovne $30\,\mathrm{m}$ od teba. Ako vysoko letí (nad tvojou rukou)?

Umocni: $50^2 = 2\,500$ , $\;30^2 = 900$ .
Odčítaj: $2\,500 - 900 = 1\,600$ .
Odmocni: $b = \sqrt{1\,600} =$ $40\,\mathrm{m}$ .

Ďalší príklad: prepona $12\,\mathrm{cm}$ , odvesna $5\,\mathrm{cm}$ → $b = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119} \approx 10{,}91\,\mathrm{cm}$ .

Typické chyby a kontrola

Odmocnina súčtu nie je súčet odmocnín: $\sqrt{a^2 + b^2} \ne a + b$ . Pri $6$ a $8$ : $\sqrt{36 + 64} = 10$ , nie $14$ .
Nezabudni odmocniť. Ak ti vyjde prepona $100\,\mathrm{m}$ pri odvesnách $6\,\mathrm{m}$ a $8\,\mathrm{m}$ , máš $c^2$ , nie $c$ .
Pri odvesne odčítavaj. Keď hľadáš odvesnu a sčítaš, vyjde ti číslo väčšie ako prepona — to sa nedá.

Rýchla kontrola: prepona je vždy najdlhšia, ale kratšia ako súčet odvesien. Pri $5$ a $7$ musí vyjsť niečo medzi $7$ a $12$ — a $8{,}60$ sedí.

Vyskúšaj si to

Zadaj dve odvesny a uvidíš preponu aj nákres v mierke. Môžeš zadať aj odvesnu a preponu. Všímaj si prvý riadok postupu s Pytagorovou vetou — riadky s uhlami ( $\mathrm{tg}$ , $\sin$ , $\cos$ ) sú učivo strednej školy, zatiaľ ich pokojne preskoč.

Teraz ty — chyť správny výsledok. Dva balóniky sú typické chyby:

a) Odvesny $9\,\mathrm{cm}$ a $40\,\mathrm{cm}$ . Vypočítaj preponu. b) Prepona $26\,\mathrm{cm}$ , odvesna $24\,\mathrm{cm}$ . Vypočítaj druhú odvesnu.

Ukáž riešenie

a) $c = \sqrt{81 + 1\,600} = \sqrt{1\,681} =$ $41\,\mathrm{cm}$ b) $b = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} =$ $10\,\mathrm{cm}$

Zapamätaj si

Prepona: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ — umocni, sčítaj, odmocni.
Odvesna: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ — umocni, od prepony odčítaj, odmocni.
$\sqrt{a^2 + b^2} \ne a + b$ a na konci nezabudni odmocniť.
Kontrola: prepona je najdlhšia strana, ale kratšia ako súčet odvesien.

Výpočet prepony a odvesny