Pytagorova veta: odvesny a prepona

Pytagorovu vetu budeš potrebovať v Testovaní 9, na strednej škole aj vo fyzike pri skladaní kolmých síl. V živote ti povie, aký veľký je televízor, či sa rebrík zmestí k oknu, alebo koľko metrov ušetríš skratkou cez park. Všetko to stojí na jednom jednoduchom vzťahu medzi stranami pravouhlého trojuholníka.

Odvesny a prepona

Pravouhlý trojuholník má jeden uhol pravý ( $90°$ ). Jeho strany majú vlastné mená:

Odvesny sú dve strany, ktoré zvierajú pravý uhol (sú na seba kolmé).
Prepona je strana oproti pravému uhlu. Je vždy najdlhšia.

Zvyčajne kreslíme trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ . Strana oproti vrcholu sa označí malým písmenom toho vrcholu: $a = BC$ , $b = AC$ , $c = AB$ . Odvesny sú potom $a$ , $b$ a prepona je $c$ .

Odvesny $a$ a $b$ (modré) sa stretávajú v pravom uhle pri $C$ . Prepona $c$ (oranžová) leží oproti nemu a je najdlhšia.

Pytagorova veta

V každom pravouhlom trojuholníku platí:

c^2 = a^2 + b^2

Slovami: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín oboch odvesien.

Najznámejší príklad je trojuholník so stranami $3$ , $4$ a $5$ : $\;3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ . Ďalší: odvesny $6$ a $8$ , prepona $10$ , lebo $36 + 64 = 100 = 10^2$ .

Veta nesie meno gréckeho matematika Pytagora zo 6. storočia pred naším letopočtom. Samotný vzťah však poznali starovekí Babylončania už o viac ako tisíc rokov skôr.

Tri štvorce nad stranami

Čo znamená $c^2$ geometricky? Je to obsah štvorca so stranou $c$ . Nakresli nad každou stranou štvorec:

Štvorec nad odvesnou $3$ má $9$ štvorčekov, nad odvesnou $4$ má $16$ štvorčekov. Spolu $25$ — presne toľko ako štvorec nad preponou $5$ .

Pytagorova veta teda hovorí: obsah štvorca nad preponou = súčet obsahov štvorcov nad odvesnami.

Prečo to platí

Zober dva rovnako veľké štvorce so stranou $a + b = 3 + 4 = 7$ . Do každého polož štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky (oranžové) s odvesnami $3$ a $4$ .

Vľavo zostanú voľné štvorce $9$ a $16$ , vpravo jeden šikmý štvorec $25$ . Trojuholníky zaberajú v oboch rovnako veľa, preto $9 + 16 = 25$ .

Oba veľké štvorce majú obsah $7 \cdot 7 = 49$ . Štyri trojuholníky zaberú spolu $4 \cdot \frac{3 \cdot 4}{2} = 24$ . Zvyšok je v oboch štvorcoch rovnaký: $49 - 24 = 25$ . Vľavo je to $a^2 + b^2$ , vpravo $c^2$ . Rovnaká úvaha funguje pre každý pravouhlý trojuholník, preto $a^2 + b^2 = c^2$ platí vždy.

Keď sa vrcholy volajú inak

Vzorec $c^2 = a^2 + b^2$ platí, len keď je pravý uhol pri $C$ . Preto si nepamätaj písmená, ale pravidlo: na ľavej strane je prepona, teda strana oproti pravému uhlu.

Trojuholník $KLM$ má pravý uhol pri vrchole $L$ . Zapíš Pytagorovu vetu.

Prepona leží oproti $L$ → je to strana $KM$ , označená $l$ .
Odvesny sú $KL = m$ a $LM = k$ .
Pytagorova veta: $l^2 = k^2 + m^2$ , teda $|KM|^2 = |KL|^2 + |LM|^2$ .

Pytagorova veta platí len v pravouhlom trojuholníku. Pre trojuholník so stranami $4$ , $5$ , $6$ vyjde $4^2 + 5^2 = 41$ , ale $6^2 = 36$ — rovnosť neplatí, lebo tento trojuholník pravý uhol nemá.

Pravouhlý trojuholník má odvesny $5\,\mathrm{cm}$ a $12\,\mathrm{cm}$ . Aký obsah má štvorec nad jeho preponou?

Ukáž riešenie

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ , teda štvorec nad preponou má obsah $169\,\mathrm{cm^2}$ . Prepona je $13\,\mathrm{cm}$ , lebo $13^2 = 169$ .

Teraz ty — rozcvička s druhými mocninami a odmocninami. Pri Pytagorovej vete ich budeš potrebovať v každej úlohe:

Zapamätaj si

Odvesny zvierajú pravý uhol, prepona leží oproti nemu a je najdlhšia.
Pytagorova veta: $c^2 = a^2 + b^2$ (pravý uhol pri $C$ ).
Na ľavej strane rovnosti je vždy prepona — pri inom označení vrcholov si ju najprv nájdi.
Geometricky: obsah štvorca nad preponou = súčet obsahov štvorcov nad odvesnami ( $9 + 16 = 25$ ).
Veta platí len v pravouhlom trojuholníku.