Guľa: povrch a objem; telesá v praxi

Guľu potrebuješ pri všetkom, čo je okrúhle zo všetkých strán: lopta, kopček zmrzliny, guľôčka v ložisku kolobežky, vianočná ozdoba. Koľko vzduchu napumpuješ do lopty a koľko kože či plastu treba na jej povrch? Na guľu stačia dva vzorce. A na konci uvidíš krásny vzťah medzi valcom, kužeľom a guľou.

Guľa a guľová plocha

Guľa s polomerom $r$ sú všetky body priestoru, ktoré majú od stredu gule vzdialenosť najviac $r$ — je to plné teleso (ako kopček zmrzliny). Body vo vzdialenosti presne $r$ tvoria guľovú plochu — „obal“ gule (ako tenká koža lopty).

Je to rovnaké ako v rovine: kruh je plocha, kružnica je len čiara okolo. Priemer gule je $d = 2r$ .

Guľa nemá podstavu, plášť ani hrany. Preto sa jej povrch a objem nepočítajú cez podstavu, ale majú vlastné vzorce.

Povrch gule

Povrch gule má presne taký obsah ako štyri kruhy s rovnakým polomerom:

S = 4\pi r^2

Futbalová lopta má priemer približne 22 cm, teda $r = 11$ cm.

$S = 4 \cdot \pi \cdot 11^2 = 484\pi \approx$ 1 520,5 cm², čo je asi 0,15 m² materiálu.

Objem gule

V = \frac{4}{3} \pi r^3

Polomer je na tretiu — preto stačí malá zmena polomeru a objem sa zmení výrazne: dvojnásobný polomer = $2^3 = 8$ -násobný objem.

Lopta ( $r = 11$ cm): $V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 11^3 = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 1\,331 \approx 5\,575\,\mathrm{cm^3}$ , teda asi 5,6 litra vzduchu.

Kopček zmrzliny ( $r = 3$ cm): $V = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 36\pi \approx$ 113,1 cm³.

$r^3 = r \cdot r \cdot r$ , nie $3 \cdot r$ . Pri $r = 3$ : $3^3 = 27$ , nie 9. A ako vždy — keď je zadaný priemer, najprv ho vydeľ dvoma. Povrch má jednotky na druhú (cm²), objem na tretiu (cm³).

Valec, kužeľ a guľa spolu

Daj guľu s polomerom $r$ do valca, do ktorého presne pasuje: valec má polomer $r$ a výšku $2r$ . Pridaj kužeľ s rovnakou podstavou a výškou. Ich objemy sú v pomere 1 : 2 : 3.

Kužeľ $\frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 6 = 18\pi$ , guľa $\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ , valec $\pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$ (všetko v cm³).

Kornútok s kopčekom: kornútok je kužeľ $r = 3$ cm, $v = 10$ cm, plný zmrzliny, navrchu pologuľa s $r = 3$ cm.

Kužeľ: $\frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 30\pi$
Pologuľa: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = 18\pi$
Spolu: $48\pi \approx$ 150,8 cm³ zmrzliny

Zložené teleso = súčet jednoduchých telies. Pri povrchu zloženého telesa počítaj len plochy, ktoré sú vonku.

Sklenená guľôčka na cvrnkanie má polomer 0,8 cm, hustota skla je asi 2,5 g/cm³. Aká je jej hmotnosť? (Z fyziky: $m = \rho \cdot V$ .)

Ukáž riešenie

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 0{,}8^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 0{,}512 \approx 2{,}14\,\mathrm{cm^3}$

$m = 2{,}5 \cdot 2{,}14 \approx$ 5,4 g

Roztrieď si vzorce a pojmy všetkých štyroch telies:

A záverečná naháňačka balónikov:

Zapamätaj si

Guľa = plné teleso, guľová plocha = jej povrch (ako kruh a kružnica); $d = 2r$ .
Povrch gule: $S = 4\pi r^2$ (štyri kruhy s polomerom $r$ ).
Objem gule: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ ; dvojnásobný polomer = 8-násobný objem.
Kužeľ : guľa : valec (polomer $r$ , výška $2r$ ) = $1 : 2 : 3$ .
Zložené teleso: objemy sčítaj, pri povrchu počítaj len vonkajšie plochy.