Kužeľ: povrch a objem

Kužeľ stretneš na každom kroku: kornútok zmrzliny, papierová čiapka na oslavu, tréningová meta na futbale, hromada piesku na stavbe, lievik. Stavbyvedúci potrebuje vedieť, koľko m³ piesku leží na kôpke, a ty zase, koľko zmrzliny sa zmestí do kornútka. Kužeľ je k valcu to, čo ihlan k hranolu — a znova v ňom bude tretina.

Čo je kužeľ

Kužeľ má jednu podstavu — kruh s polomerom $r$ — a vrchol nad jej stredom. Zakrivená bočná plocha je plášť.

Výška $v$ — vzdialenosť vrcholu od podstavy (kolmo do stredu podstavy).
Strana $s$ — úsečka z vrcholu na okraj podstavy (po plášti).

Polomer $r$ , výška $v$ a strana $s$ tvoria pravouhlý trojuholník, $s$ je prepona:

s^2 = r^2 + v^2

Papierová čiapka: $r = 6$ cm, $v = 8$ cm, $s = \sqrt{36 + 64} = 10$ cm. Rozvinutý plášť je kruhový výsek s polomerom $s$ .

Plášť je kruhový výsek

Rozstrihni plášť pozdĺž strany $s$ a rozviň ho — dostaneš kruhový výsek s polomerom $s$ . Jeho oblúk obopína podstavu, preto je dlhý ako obvod podstavy $2\pi r$ .

Celý kruh s polomerom $s$ má obvod $2\pi s$ . Výsek je jeho časť $\frac{2\pi r}{2\pi s} = \frac{r}{s}$ , takže aj obsah je tá istá časť z $\pi s^2$ :

S_{pl} = \frac{r}{s} \cdot \pi s^2 = \pi r s

Povrch = podstava + plášť: $\quad S = \pi r^2 + \pi r s = \pi r (r + s)$

Papierová čiapka (len plášť): $r = 6$ cm, $s = 10$ cm.

$S_{pl} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \approx$ 188,5 cm² papiera. Výsek má časť $\frac{6}{10}$ kruhu, teda stredový uhol $\frac{6}{10} \cdot 360° = 216°$ .

Objem kužeľa: tretina valca

Kužeľ a valec s rovnakou podstavou a výškou: vodu z kužeľa vyleješ do valca trikrát, kým je plný. Ako pri ihlane:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 v

Kornútok: $r = 3$ cm, $v = 10$ cm.

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 30\pi \approx$ 94,2 cm³, teda asi 94 ml zmrzliny (bez kopčeka navrchu).

Hromada piesku: $r = 2$ m, $v = 1{,}5$ m.

$V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 1{,}5 = 2\pi \approx$ 6,28 m³ piesku.

Nepleť si $v$ a $s$ . Do objemu ide výška $v$ , do plášťa strana $s$ . Strana je vždy dlhšia ako výška (je to prepona). Keď poznáš len jednu z nich, druhú dopočítaš: $s^2 = r^2 + v^2$ .

Tréningová meta (kužeľ) má priemer podstavy 20 cm a výšku 24 cm. Koľko plastu treba na jej plášť?

Ukáž riešenie

$r = 10$ cm, $s = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$ cm.

$S_{pl} = \pi \cdot 10 \cdot 26 = 260\pi \approx$ 816,8 cm².

Teraz ty — chyť správny výsledok:

Zapamätaj si

Kužeľ: podstava kruh ( $r$ ), vrchol, výška $v$ , strana $s$ ; platí $s^2 = r^2 + v^2$ .
Plášť je kruhový výsek s polomerom $s$ : $S_{pl} = \pi r s$ .
Povrch: $S = \pi r^2 + \pi r s = \pi r (r + s)$ .
Objem: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 v$ — tretina valca s rovnakou podstavou a výškou.
Do objemu ide $v$ , do plášťa $s$ .