Ihlan: povrch a objem

Ihlan potrebuješ, keď staviaš alebo balíš niečo „do špičky“: strecha vežičky, stan s jednou tyčou v strede, darčeková krabička. Klampiar, ktorý robí plechové strechy, počíta, koľko plechu ide na strechu (plášť), a ty zistíš, koľko vzduchu je v stane (objem). A ukážeme si, prečo je v objeme ihlana záhadná tretina.

Čo je ihlan

Ihlan má jednu podstavu (mnohouholník) a jeden vrchol $V$ nad ňou. Bočné steny sú trojuholníky so spoločným vrcholom — spolu tvoria plášť.

Podľa podstavy: trojboký, štvorboký, šesťboký ihlan…
Pravidelný štvorboký ihlan má podstavu štvorec a vrchol presne nad jeho stredom — všetky bočné steny sú zhodné rovnoramenné trojuholníky.
$n$ -boký ihlan má $n + 1$ vrcholov, $2n$ hrán a $n + 1$ stien. Štvorboký: 5 vrcholov, 8 hrán, 5 stien.

Dve výšky ihlana

Výška ihlana $v$ — vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy (meria sa kolmo dole; v pravidelnom ihlane padne do stredu podstavy).
Stenová výška $v_s$ — výška bočného trojuholníka (z vrcholu kolmo na hranu podstavy).

V pravidelnom štvorbokom ihlane tvoria $v$ , polovica hrany $\frac{a}{2}$ a $v_s$ pravouhlý trojuholník, kde $v_s$ je prepona. Pytagorova veta:

v_s^2 = v^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2

Výška $v$ (oranžová), polovica hrany (zelená) a stenová výška $v_s$ (modrá) tvoria pravouhlý trojuholník: $3^2 + 4^2 = 5^2$ .

Povrch ihlana

Povrch = jedna podstava + plášť: $S = S_p + S_{pl}$ . Pri pravidelnom štvorbokom ihlane je plášť zo 4 zhodných trojuholníkov so základňou $a$ a výškou $v_s$ :

S = a^2 + 4 \cdot \frac{a \cdot v_s}{2}

Strecha vežičky (plášť pravidelného štvorbokého ihlana): $a = 4$ m, $v_s = 5$ m.

$S_{pl} = 4 \cdot \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 4 \cdot 10 =$ 40 m² plechu (bez prekrytí). Podstavu nepočítame — strecha nemá dno.

Darčeková krabička tvaru ihlana: $a = 8$ cm, výška $v = 3$ cm.

$v_s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ cm (do vety ide polovica hrany, $\frac{8}{2} = 4$ )
$S = 8^2 + 4 \cdot \dfrac{8 \cdot 5}{2} = 64 + 80 =$ 144 cm² papiera

Objem ihlana: tretina hranola

Zober ihlan a hranol s rovnakou podstavou a rovnakou výškou. Ihlan naplnený pieskom musíš do hranola vysypať trikrát, kým je hranol plný. Preto:

V = \frac{1}{3} \cdot S_p \cdot v

Krabička z príkladu vyššie: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 3 = \dfrac{1}{3} \cdot 192 =$ 64 cm³.

Ihlan z obrázka ( $a = 6$ cm, $v = 4$ cm): $V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 =$ 48 cm³. Hranol s rovnakou podstavou a výškou by mal $36 \cdot 4 = 144\,\mathrm{cm^3}$ — a $144 : 3 = 48$ ✓

Dve časté chyby: zabudnutá tretina (vyjde objem hranola, 3-krát viac) a zámena výšok. Do objemu ide výška ihlana $v$ , do plášťa stenová výška $v_s$ . Ak máš len jednu z nich, druhú dopočítaš Pytagorovou vetou.

Stan má tvar pravidelného štvorbokého ihlana: podlaha je štvorec 2 m × 2 m, tyč v strede je vysoká 1,8 m. Koľko vzduchu je v stane? A koľko m² plachty treba na 4 steny?

Ukáž riešenie

Objem: $V = \frac{1}{3} \cdot 2^2 \cdot 1{,}8 = \frac{7{,}2}{3} =$ 2,4 m³.

Stenová výška: $v_s = \sqrt{1{,}8^2 + 1^2} = \sqrt{4{,}24} \approx 2{,}06$ m. Plachta: $4 \cdot \frac{2 \cdot 2{,}06}{2} \approx$ 8,2 m².

Teraz ty — počítaj s kalkulačkou alebo z hlavy:

Zapamätaj si

Ihlan: jedna podstava (mnohouholník), plášť z trojuholníkov, jeden vrchol.
Výška ihlana $v$ ≠ stenová výška $v_s$ ; v pravidelnom štvorbokom ihlane $v_s^2 = v^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ .
Povrch: $S = S_p + S_{pl}$ , pre pravidelný štvorboký $S = a^2 + 4 \cdot \frac{a \cdot v_s}{2}$ .
Objem: $V = \frac{1}{3} S_p \cdot v$ — tretina hranola s rovnakou podstavou a výškou.