Valec: sieť, povrch a objem

Valec potrebuješ vždy, keď niečo okrúhle napĺňaš alebo obaľuješ: plechovka, pohár, sud na dažďovú vodu, nafukovací bazén. Výrobca plechoviek rieši dve otázky — koľko plechu treba na jeden kus (povrch) a koľko sa do plechovky zmestí (objem). Obe zvládneš so vzorcami kruhu z 8. ročníka.

Čo je valec

Valec má dve zhodné rovnobežné podstavy — kruhy s polomerom $r$ . Bočná zakrivená plocha je plášť. Výška $v$ je vzdialenosť podstáv.

Príklady okolo teba: plechovka, hrnček, fixka, rolka toaletného papiera, okrúhla torta, batéria do ovládača.

Plechovka s polomerom 3 cm a výškou 12 cm. Keď ju „rozstriháš“, dostaneš sieť: dva kruhy a obdĺžnik.

Sieť valca

Plášť rozstrihni zhora nadol a rozviň — vznikne obdĺžnik. Jeho výška je výška valca $v$ . Jeho dĺžka je presne okraj podstavy, teda obvod kruhu $2\pi r$ (plášť sa okolo podstavy obtočí raz dokola).

S_{pl} = 2\pi r \cdot v

Nálepka na plechovke je tiež obdĺžnik $2\pi r \times v$ — preto sa dá vytlačiť na rovný papier a potom obtočiť.

Povrch valca

Povrch = dve podstavy + plášť:

S = 2 \cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r + v)

Plechovka: $r = 3$ cm, $v = 12$ cm.

Podstava: $S_p = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}$
Plášť: $S_{pl} = 2\pi \cdot 3 \cdot 12 = 72\pi \approx 226{,}2\,\mathrm{cm^2}$
Povrch: $S = 2 \cdot 9\pi + 72\pi = 90\pi \approx$ 282,7 cm² plechu (s $\pi \approx 3{,}14$ vyjde $282{,}6$ ).

Pozor na to, čo má teleso naozaj: pohár, váza či kôš nemajú veko — majú len jednu podstavu: $S = \pi r^2 + 2\pi r v$ . Rúra (rúrka) nemá ani jednu — len plášť.

Objem valca

Valec si predstav ako kopu tenkých kruhových „plátkov“ (ako rolka mincí). Presne ako pri hranole platí: obsah podstavy krát výška.

V = S_p \cdot v = \pi r^2 v

Plechovka: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 = 108\pi \approx$ 339,3 cm³. Keďže $1\,\mathrm{cm^3} = 1$ ml, zmestí sa do nej asi 339 ml — skoro ako do bežnej plechovky 0,33 l.

Nafukovací bazén: priemer 3 m, voda do výšky 0,6 m. Polomer $r = 1{,}5$ m.

$V = \pi \cdot 1{,}5^2 \cdot 0{,}6 = 1{,}35\pi \approx 4{,}24\,\mathrm{m^3}$ . To je asi 4 241 litrov vody ( $1\,\mathrm{m^3} = 1\,000$ l).

Do vzorca ide polomer, nie priemer. Keď je zadaný priemer, najprv ho vydeľ dvoma. Priemer namiesto polomeru = objem 4-krát väčší, lebo $r$ je na druhú.

Hrnček má vnútri polomer 4 cm a výšku 10 cm. Zmestí sa doň pol litra čaju? A koľko cm² glazúry treba na jeho vnútro (dno + stena)?

Ukáž riešenie

$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi \approx 502{,}7\,\mathrm{cm^3}$ , teda asi 503 ml — áno, pol litra (500 ml) sa zmestí, len tesne.

Vnútro: jedno dno + plášť: $\pi \cdot 16 + 2\pi \cdot 4 \cdot 10 = 16\pi + 80\pi = 96\pi \approx$ 301,6 cm².

Najprv rozcvička — obvod a obsah útvarov, medzi nimi aj kruhu (podstava valca):

A teraz valce. Pozor, balóniky so zlými odpoveďami sú typické chyby:

Zapamätaj si

Valec: 2 podstavy (kruhy s polomerom $r$ ) + plášť, výška $v$ = vzdialenosť podstáv.
Plášť rozvinutý = obdĺžnik $2\pi r \times v$ , teda $S_{pl} = 2\pi r v$ .
Povrch: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r(r + v)$ — pohár bez veka má len jedno dno.
Objem: $V = \pi r^2 v$ ; $1\,\mathrm{cm^3} = 1$ ml, $1\,\mathrm{dm^3} = 1$ l, $1\,\mathrm{m^3} = 1\,000$ l.
Do vzorcov ide polomer — priemer najprv vydeľ dvoma.