Lineárna funkcia y = kx + q

Zdieľaná kolobežka: 1 € za odomknutie a potom 0,20 € za každú minútu jazdy. Za 10 minút zaplatíš 3 €, za 20 minút 5 € — nie dvojnásobok, takže to nie je priama úmernosť. Závislosť typu „poplatok + cena za každú jednotku“ sa volá lineárna funkcia — v praxi aj vo fyzike je veľmi častá.

Funkcia a lineárna funkcia

Funkcia je predpis, ktorý každému číslu $x$ priradí práve jedno číslo $y$ . Pre každú dĺžku jazdy existuje jedna cena — cena jazdy je funkciou času.

Lineárna funkcia má predpis

y = kx + q,

kde $k$ a $q$ sú dané čísla. Jej grafom je priamka.

situácia	predpis	$k$	$q$
kolobežka: 1 € + 0,20 € za minútu	$y = 0{,}2x + 1$	$0{,}2$	$1$
batéria: 100 %, každú hodinu −10 %	$y = -10x + 100$	$-10$	$100$
kolobežka 15 km/h (priama úmernosť)	$y = 15x$	$15$	$0$

Priama úmernosť je teda lineárna funkcia s $q = 0$ .

$k$ je číslo pri $x$ , $q$ je číslo samostatne — bez ohľadu na poradie. V $y = 3 - 2x$ je $k = -2$ a $q = 3$ , nie naopak.

Čo prezradí q

Dosaď $x = 0$ : $y = k \cdot 0 + q = q$ . Graf preto pretína os $y$ v bode $[0; q]$ . V praxi je $q$ štartovacia hodnota: 1 € za odomknutie kolobežky ešte pred jazdou, 100 % batérie na začiatku.

Čo prezradí k

Keď sa $x$ zväčší o 1, $y$ sa zmení o $k$ . Pri kolobežke každá minúta pridá 0,20 €, pri batérii každá hodina uberie 10 %.

$k > 0$ : funkcia je rastúca (graf ide zľava doprava hore),
$k < 0$ : funkcia je klesajúca (graf ide dole),
$k = 0$ : funkcia je konštantná, $y = q$ — graf je vodorovná priamka.

Čím je $k$ ďalej od nuly, tým je priamka strmšia.

Rastúca $y = 2x - 1$ ( $k = 2$ ), klesajúca $y = -x + 3$ ( $k = -1$ ) a konštantná $y = -2$ ( $k = 0$ ). Krúžky sú priesečníky s osami: $[0; -1]$ a $[0{,}5; 0]$ pre $y = 2x - 1$ , $[0; 3]$ pre $y = -x + 3$ a $[0; -2]$ pre $y = -2$ .

Graf z dvoch bodov

Priamku určujú dva body. Vypočítaj dva body (tretí na kontrolu) a spoj ich pravítkom.

Nakresli graf $y = 2x - 1$ a nájdi priesečníky s osami.

Tabuľka: $x = 0 \Rightarrow y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$ ; $x = 1 \Rightarrow y = 1$ ; $x = 2 \Rightarrow y = 3$ ; $x = 3 \Rightarrow y = 5$ .
Body $[0; -1]$ , $[1; 1]$ , $[2; 3]$ , $[3; 5]$ ležia na jednej priamke — spoj ich.
S osou $y$ : $x = 0$ , bod $[0; -1]$ (to je $q$ ).
S osou $x$ : $y = 0$ , teda $2x - 1 = 0$ , $x = 0{,}5$ → bod $[0{,}5; 0]$ .

Leží bod na grafe? Dosaď $x$ a porovnaj s $y$ . Bod $[3; 5]$ : $2 \cdot 3 - 1 = 5$ — leží. Bod $[-1; -2]$ : $2 \cdot (-1) - 1 = -3 \ne -2$ — neleží.

Vyskúšaj si, ako $k$ mení sklon a $q$ posúva priamku hore a dole:

Funkcia $y = -3x + 4$ . a) Je rastúca, alebo klesajúca? b) Kde pretína os $y$ ? c) Leží na grafe bod $[2; -2]$ ?

Ukáž riešenie

a) $k = -3 < 0$ → klesajúca. b) V bode $[0; 4]$ . c) $-3 \cdot 2 + 4 = -2$ → áno, leží.

Teraz ty — chyť správnu odpoveď:

Zapamätaj si

Funkcia priradí každému $x$ práve jedno $y$ ; lineárna funkcia má predpis $y = kx + q$ a jej graf je priamka.
$q$ = kde graf pretne os $y$ , bod $[0; q]$ (štartovacia hodnota).
$k$ = o koľko sa zmení $y$ , keď $x$ zväčšíš o 1: $k > 0$ rastúca, $k < 0$ klesajúca, $k = 0$ konštantná.
Na graf stačia dva body; priesečník s osou $x$ nájdeš z rovnice $kx + q = 0$ .
Priama úmernosť $y = kx$ je lineárna funkcia s $q = 0$ .