Priama a nepriama úmernosť v grafe

Úmernosti poznáš zo 7. ročníka: viac lístkov — viac eur, viac kamarátov — menej pizze pre každého. Teraz uvidíš, ako vyzerajú v grafe. Podľa tvaru grafu spoznáš úmernosť na prvý pohľad — a vo fyzike to budeš robiť stále (dráha a čas, prúd a napätie).

Priama úmernosť: priamka zo začiatku

Ideš pešo rýchlosťou 5 km/h, kamarát na kolobežke 15 km/h. Dráha je priamo úmerná času: dvakrát dlhšie ide, dvakrát viac prejde.

čas $t$ (h)	0	0,5	1	1,5	2
pešo $s$ (km)	0	2,5	5	7,5	10
kolobežka $s$ (km)	0	7,5	15	22,5	30

Predpisy sú $s = 5t$ a $s = 15t$ . Všeobecne $y = kx$ , kde $k$ je stály podiel $y : x$ (volá sa koeficient úmernosti).

Obe priamky vychádzajú zo začiatku $[0; 0]$ . Kolobežka má väčšie $k$ (15), preto je jej priamka strmšia.

Druhý príklad: lístky po 25 €, $y = 25x$ . Body ležia tiež na priamke zo začiatku, len ich nespájame (pol lístka nekúpiš).

Ako priamu úmernosť spoznáš

V tabuľke: podiel $y : x$ je vo všetkých stĺpcoch rovnaký (pri kolobežke $7{,}5 : 0{,}5 = 15 : 1 = 15$ ).
V grafe: body ležia na priamke, ktorá prechádza začiatkom $[0; 0]$ . Musia platiť obe veci naraz.

Vyskúšaj si to — hýb posuvníkom $k$ a $q$ (posun priamky hore či dole, ten spoznáš v ďalšej lekcii) nechaj na nule. Kým je $q = 0$ , priamka ide cez začiatok a je to priama úmernosť. Väčšie kladné $k$ = strmšia priamka; pri zápornom $k$ priamka klesá. Pri úmernostiach z praxe je $k$ kladné a zaujíma ťa len časť grafu vpravo, kde je $x$ kladné.

Priamka ešte nestačí. Taxík: 2 € za nástup a 1 € za kilometer. Za 2 km zaplatíš 4 €, za 4 km 6 € — dvakrát viac kilometrov, ale nie dvakrát viac eur. Graf je priamka, no neprechádza začiatkom (pri 0 km platíš 2 €). To nie je priama úmernosť.

Nepriama úmernosť: oblúk, ktorý sa nedotkne osí

Cesta na chatu má 60 km. Čím rýchlejšie ideš, tým kratšie ti to trvá: $t = 60 : v$ .

rýchlosť $v$ (km/h)	10	15	20	30	60
čas $t$ (h)	6	4	3	2	1

Koľkokrát sa rýchlosť zväčší, toľkokrát sa čas zmenší. Stály je tu súčin: $v \cdot t = 60$ v každom stĺpci. Predpis nepriamej úmernosti je $y = \dfrac{k}{x}$ .

Graf nepriamej úmernosti je krivka — hyperbola. Pri kladných $x$ je to oblúk, ktorý sa k osiam blíži, ale nikdy sa ich nedotkne.

Druhý príklad: autobus na triedny výlet stojí 600 €. Cena na žiaka je $y = 600 : x$ — pri 20 žiakoch 30 €, pri 30 žiakoch 20 €, pri 40 žiakoch 15 €.

Nie každá závislosť, kde jedno rastie a druhé klesá, je nepriama úmernosť. Batéria má 100 % a každú hodinu ubudne 10 %: po 1 h je 90 %, po 2 h 80 %. Súčiny $1 \cdot 90 = 90$ a $2 \cdot 80 = 160$ nie sú rovnaké — to nie je nepriama úmernosť.

Porovnanie na jeden pohľad

	priama úmernosť	nepriama úmernosť
keď $x$ zväčšíš 2-krát	$y$ sa zväčší 2-krát	$y$ sa zmenší 2-krát
čo je stále	podiel $y : x = k$	súčin $x \cdot y = k$
predpis	$y = kx$	$y = \dfrac{k}{x}$
graf	priamka cez začiatok	hyperbola (oblúk)

Rozhodni, či ide o priamu, nepriamu úmernosť, alebo ani jedno: a) $x$ : 1, 2, 4, 5 a $y$ : 3, 6, 12, 15 b) $x$ : 1, 2, 4, 5 a $y$ : 20, 10, 5, 4 c) $x$ : 1, 2, 3 a $y$ : 5, 7, 9

Ukáž riešenie

a) Podiel $y : x$ je vždy 3 → priama úmernosť, $y = 3x$ . b) Súčin $x \cdot y$ je vždy 20 → nepriama úmernosť, $y = \frac{20}{x}$ . c) Podiely 5; 3,5; 3 sa líšia, súčiny 5; 14; 27 tiež → ani jedno (je to lineárna funkcia $y = 2x + 3$ — o nej je ďalšia lekcia).

Teraz ty — dráha pri stálej rýchlosti je priama úmernosť $s = v \cdot t$ :

Zapamätaj si

Priama úmernosť $y = kx$ : podiel $y : x$ je stály, graf je priamka cez začiatok $[0; 0]$ .
Pri kladnom $k$ : väčšie $k$ znamená strmšiu priamku.
Nepriama úmernosť $y = \dfrac{k}{x}$ : súčin $x \cdot y$ je stály, graf je hyperbola, ktorá sa osí nedotkne.
Priamka, ktorá nejde cez začiatok, nie je priama úmernosť; klesajúca závislosť ešte nie je nepriama úmernosť.